MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M={x∈R∣x>−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+yx \circ y = xy + x + y. Arătați că: a) Legea este asociativă. b) Exprimați x∘yx \circ y în funcție de (x+1)(y+1)(x+1)(y+1). c) Rezolvați în MM ecuația x∘x∘x=8x \circ x \circ x = 8.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a demonstra asociativitatea, calculăm (x∘y)∘z(x \circ y) \circ z și x∘(y∘z)x \circ (y \circ z). (x∘y)∘z=(xy+x+y)∘z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x \circ y) \circ z = (xy + x + y) \circ z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z. x∘(y∘z)=x∘(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx \circ (y \circ z) = x \circ (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Expresiile sunt identice, deci operația este asociativă.
22 puncte
x∘y=xy+x+y=xy+x+y+1−1=(x+1)(y+1)−1x \circ y = xy + x + y = xy + x + y + 1 - 1 = (x+1)(y+1) - 1.
35 puncte
Folosind rezultatul de la b), x∘x∘x=((x+1)2−1)∘x=(((x+1)2−1)+1)(x+1)−1=(x+1)3−1x \circ x \circ x = ((x+1)^2 - 1) \circ x = (((x+1)^2 - 1) + 1)(x+1) - 1 = (x+1)^3 - 1. Ecuația devine (x+1)3−1=8(x+1)^3 - 1 = 8, adică (x+1)3=9(x+1)^3 = 9. Deoarece x>−1x > -1, avem x+1>0x+1 > 0, deci x+1=93x+1 = \sqrt[3]{9}. Așadar, x=93−1x = \sqrt[3]{9} - 1, care aparține lui MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.