MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=a2+b2a * b = \sqrt{a^2 + b^2} pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Studiați proprietățile acestei legi: asociativitatea, comutativitatea, existența elementului neutru și a elementelor inversabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: a∗b=a2+b2=b2+a2=b∗aa * b = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{b^2 + a^2} = b * a, deci legea este comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității: (a∗b)∗c=(a2+b2)2+c2=a2+b2+c2(a * b) * c = \sqrt{(\sqrt{a^2 + b^2})^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} și a∗(b∗c)=a2+(b2+c2)2=a2+b2+c2a * (b * c) = \sqrt{a^2 + (\sqrt{b^2 + c^2})^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}, deci este asociativă.
32 puncte
Căutarea elementului neutru ee: a∗e=a⇒a2+e2=a⇒a2+e2=a2⇒e2=0⇒e=0a * e = a \Rightarrow \sqrt{a^2 + e^2} = a \Rightarrow a^2 + e^2 = a^2 \Rightarrow e^2 = 0 \Rightarrow e = 0. Verificare: a∗0=a2+0=∣a∣a * 0 = \sqrt{a^2 + 0} = |a|, care este egal cu aa doar dacă a≥0a \geq 0. Pentru a<0a < 0, ∣a∣≠a|a| \neq a, deci nu există element neutru în R\mathbb{R}.
43 puncte
Determinarea elementelor inversabile: Deoarece nu există element neutru, niciun element a∈Ra \in \mathbb{R} nu are invers în raport cu această lege.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.