MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Se definește operația ∘\circ pe MM prin (a+b2)∘(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2(a+b\sqrt{2}) \circ (c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2}. a) Arătați că operația ∘\circ este internă pe MM. b) Verificați dacă operația este comutativă. c) Determinați toate elementele inversabile din MM în raport cu operația ∘\circ.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrați că pentru orice a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}, expresia (ac+2bd)+(ad+bc)2(ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} are coeficienți întregi, deci aparține lui MM.
23 puncte
Comparați (a+b2)∘(c+d2)(a+b\sqrt{2}) \circ (c+d\sqrt{2}) cu (c+d2)∘(a+b2)(c+d\sqrt{2}) \circ (a+b\sqrt{2}) folosind comutativitatea adunării și înmulțirii în Z\mathbb{Z}.
33 puncte
Găsiți elementul neutru e=1e=1 rezolvând x∘e=xx \circ e = x, apoi deduceți condiția a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm1 pentru existența inversului prin rezolvarea sistemului de ecuații.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.