MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ⊕\oplus prin x⊕y=x+y1+xyx \oplus y = \frac{x+y}{1+xy}, cu condiția 1+xy≠01+xy \neq 0. a) Demonstrați că ⊕\oplus este comutativă și asociativă. b) Găsiți elementul neutru ee pentru ⊕\oplus. c) Determinați pentru ce x∈Rx \in \mathbb{R} există element simetric x′x' față de ⊕\oplus și găsiți-l.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Comutativitatea: x⊕y=x+y1+xy=y+x1+yx=y⊕xx \oplus y = \frac{x+y}{1+xy} = \frac{y+x}{1+yx} = y \oplus x. Asociativitatea: calculați (x⊕y)⊕z=x+y1+xy+z1+x+y1+xyz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz(x \oplus y) \oplus z = \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + \frac{x+y}{1+xy}z} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}. Similar, x⊕(y⊕z)=x+y+z1+yz1+xy+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yzx \oplus (y \oplus z) = \frac{x + \frac{y+z}{1+yz}}{1 + x\frac{y+z}{1+yz}} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}. Cele două sunt egale, deci ⊕\oplus este asociativă.
23 puncte
Găsiți elementul neutru rezolvând x⊕e=xx \oplus e = x: x+e1+xe=x⇒x+e=x(1+xe)⇒x+e=x+x2e⇒e(1−x2)=0\frac{x+e}{1+xe} = x \Rightarrow x+e = x(1+xe) \Rightarrow x+e = x + x^2 e \Rightarrow e(1 - x^2) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx cu 1+xe≠01+xe \neq 0, avem e=0e=0. Verificați că 0⊕x=x0 \oplus x = x.
33 puncte
Pentru simetric, rezolvați x⊕x′=0x \oplus x' = 0: x+x′1+xx′=0⇒x+x′=0⇒x′=−x\frac{x+x'}{1+xx'} = 0 \Rightarrow x+x' = 0 \Rightarrow x' = -x, cu condiția 1+x(−x)=1−x2≠01+x(-x) = 1-x^2 \neq 0, deci pentru x≠±1x \neq \pm 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.