MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. a) Calculați (2∗3)∗4(2 * 3) * 4 și 2∗(3∗4)2 * (3 * 4). b) Demonstrați că legea ∗* este asociativă. c) Determinați elementul neutru al legii ∗*, dacă există. d) Găsiți inversul lui a∈Ra \in \mathbb{R} în raport cu legea ∗*, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm (2∗3)∗4(2 * 3) * 4 și 2∗(3∗4)2 * (3 * 4). Avem 2∗3=2+3−2⋅3=5−6=−12 * 3 = 2 + 3 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1, apoi (2∗3)∗4=(−1)∗4=−1+4−(−1)⋅4=3+4=7(2 * 3) * 4 = (-1) * 4 = -1 + 4 - (-1) \cdot 4 = 3 + 4 = 7. Și 3∗4=3+4−3⋅4=7−12=−53 * 4 = 3 + 4 - 3 \cdot 4 = 7 - 12 = -5, apoi 2∗(3∗4)=2∗(−5)=2+(−5)−2⋅(−5)=−3−(−10)=−3+10=72 * (3 * 4) = 2 * (-5) = 2 + (-5) - 2 \cdot (-5) = -3 - (-10) = -3 + 10 = 7. Deci ambele sunt egale cu 7.
23 puncte
Demonstrăm asociativitatea. Pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}, avem (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y−xy+z−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz. Și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz. Comparând, ambele expresii sunt egale, deci legea este asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Avem x∗e=x+e−xe=x⇒e−xe=0⇒e(1−x)=0x * e = x + e - xe = x \Rightarrow e - xe = 0 \Rightarrow e(1 - x) = 0 pentru orice xx, deci e=0e=0 și verificăm: x∗0=x+0−x⋅0=xx * 0 = x + 0 - x \cdot 0 = x, corect. Deci elementul neutru este e=0e=0.
43 puncte
Găsim inversul lui aa, notat a′a', astfel încât a∗a′=0a * a' = 0. Avem a∗a′=a+a′−aa′=0⇒a′(1−a)=−a⇒a′=−a1−aa * a' = a + a' - a a' = 0 \Rightarrow a' (1 - a) = -a \Rightarrow a' = \frac{-a}{1-a} pentru a≠1a \neq 1. Pentru a=1a=1, nu există invers deoarece 1∗x=1+x−1⋅x=11 * x = 1 + x - 1 \cdot x = 1, deci nu poate fi 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.