MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea Z7={0,1,2,3,4,5,6}\mathbb{Z}_7 = \{0,1,2,3,4,5,6\} se definește operația ∘\circ prin a∘b=(a⋅b)mod  7a \circ b = (a \cdot b) \mod 7. Arătați că (Z7∖{0},∘)(\mathbb{Z}_7 \setminus \{0\}, \circ) este un grup comutativ și rezolvați ecuația x∘x=2x \circ x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: Pentru orice a,b∈Z7∖{0}a, b \in \mathbb{Z}_7 \setminus \{0\}, a∘b=(a⋅b)mod  7a \circ b = (a \cdot b) \mod 7 este un element al lui Z7∖{0}\mathbb{Z}_7 \setminus \{0\}, deoarece produsul a două numere nenule modulo 7 este nenul.
22 puncte
Verificarea asociativității: (a∘b)∘c=((a⋅b)mod  7⋅c)mod  7=(a⋅b⋅c)mod  7(a \circ b) \circ c = ((a \cdot b) \mod 7 \cdot c) \mod 7 = (a \cdot b \cdot c) \mod 7 și a∘(b∘c)=(a⋅(b⋅c)mod  7)mod  7=(a⋅b⋅c)mod  7a \circ (b \circ c) = (a \cdot (b \cdot c) \mod 7) \mod 7 = (a \cdot b \cdot c) \mod 7, deci operația este asociativă.
32 puncte
Găsirea elementului neutru: e=1e = 1, deoarece a∘1=(a⋅1)mod  7=aa \circ 1 = (a \cdot 1) \mod 7 = a pentru orice a∈Z7∖{0}a \in \mathbb{Z}_7 \setminus \{0\}.
42 puncte
Găsirea elementelor inverse: Pentru fiecare a∈Z7∖{0}a \in \mathbb{Z}_7 \setminus \{0\}, există b∈Z7∖{0}b \in \mathbb{Z}_7 \setminus \{0\} astfel încât a∘b=1a \circ b = 1, adică a⋅b≡1(mod7)a \cdot b \equiv 1 \pmod{7}; de exemplu, inversul lui 22 este 44 deoarece 2⋅4=8≡1(mod7)2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}.
52 puncte
Rezolvarea ecuației: x∘x=2⇒(x⋅x)mod  7=2⇒x2≡2(mod7)x \circ x = 2 \Rightarrow (x \cdot x) \mod 7 = 2 \Rightarrow x^2 \equiv 2 \pmod{7}. Se testează valorile din Z7∖{0}\mathbb{Z}_7 \setminus \{0\}: 12=11^2=1, 22=42^2=4, 32=9≡23^2=9 \equiv 2, 42=16≡24^2=16 \equiv 2, 52=25≡45^2=25 \equiv 4, 62=36≡16^2=36 \equiv 1. Soluțiile sunt x=3x=3 și x=4x=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.