MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe R\mathbb{R} prin a∗b=a+b+kaba * b = a + b + k ab, unde k∈Rk \in \mathbb{R} este un parametru. a) Determinați valorile lui kk pentru care operația ∗* este asociativă. b) Pentru k=2k = 2, verificați dacă există element neutru și, în caz afirmativ, găsiți-l. Rezolvați apoi ecuația x∗3=7x * 3 = 7 în R\mathbb{R}. c) Pentru k=−1k = -1, arătați că orice element a∈R∖{1}a \in \mathbb{R} \setminus \{1\} are invers și calculați inversul lui 22.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru asociativitate, calculați (a∗b)∗c=(a+b+kab)∗c=a+b+kab+c+k(a+b+kab)c=a+b+c+k(ab+ac+bc)+k2abc(a * b) * c = (a+b+kab) * c = a+b+kab + c + k(a+b+kab)c = a+b+c + k(ab + ac + bc) + k^2 abc și a∗(b∗c)=a∗(b+c+kbc)=a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)=a+b+c+k(bc+ab+ac)+k2abca * (b * c) = a * (b+c+kbc) = a + b+c+kbc + k a (b+c+kbc) = a+b+c + k(bc + ab + ac) + k^2 abc. Egalitatea cere k2abc=k2abck^2 abc = k^2 abc (adevărat) și termenii liniari în kk coincid, deci operația este asociativă pentru orice k∈Rk \in \mathbb{R}.
23 puncte
Pentru k=2k=2, operația devine a∗b=a+b+2aba * b = a + b + 2ab. Elementul neutru ee satisface a∗e=aa * e = a, adică a+e+2ae=a⇒e(1+2a)=0a + e + 2ae = a \Rightarrow e(1+2a) = 0. Pentru a≠−1/2a \neq -1/2, e=0e=0 nu verifică pentru toate aa, deci nu există element neutru. Ecuația x∗3=7x * 3 = 7 devine x+3+6x=7⇒7x=4⇒x=4/7x + 3 + 6x = 7 \Rightarrow 7x = 4 \Rightarrow x = 4/7.
33 puncte
Pentru k=−1k=-1, operația este a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab. Elementul neutru ee satisface a∗e=aa * e = a, adică a+e−ae=a⇒e(1−a)=0⇒e=0a + e - ae = a \Rightarrow e(1-a) = 0 \Rightarrow e=0 (valabil pentru orice aa). Inversul a′a' satisface a∗a′=0a * a' = 0, adică a+a′−aa′=0⇒a′(1−a)=−a⇒a′=a/(a−1)a + a' - aa' = 0 \Rightarrow a'(1-a) = -a \Rightarrow a' = a/(a-1) pentru a≠1a \neq 1. Pentru a=2a=2, inversul este 2/(2−1)=22/(2-1) = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.