MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Să se arate că legea este comutativă și asociativă. b) Să se determine elementul neutru. c) Să se determine simetricul fiecărui element x∈Rx \in \mathbb{R}, dacă există. d) Să se rezolve ecuația x∗(x∗2)=3x * (x * 2) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Comutativitatea: x∗y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∗xx * y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y * x, deci legea este comutativă. Asociativitatea: Calculăm (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xz−yz−xy+x+y+z(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xz - yz - xy + x + y + z. Calculăm x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz+x−yz+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz + x - yz + y + z. Se observă că expresiile sunt egale, deci legea este asociativă.
22 puncte
Determinarea elementului neutru: Fie ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. x∗e=xe−x−e+2=x⇒xe−e=2x−2⇒e(x−1)=2(x−1)x * e = xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - e = 2x - 2 \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Pentru x≠1x \neq 1, obținem e=2e=2. Pentru x=1x=1, ecuația devine 1∗e=1⇒1⋅e−1−e+2=1⇒1=11 * e = 1 \Rightarrow 1 \cdot e - 1 - e + 2 = 1 \Rightarrow 1 = 1, adevărat, dar din condiția anterioară, e=2e=2. Verificare: x∗2=2x−x−2+2=xx * 2 = 2x - x - 2 + 2 = x, deci e=2e=2.
33 puncte
Determinarea simetricului: Fie x′x' simetricul lui xx, adică x∗x′=e=2x * x' = e = 2. x∗x′=xx′−x−x′+2=2⇒xx′−x−x′=0⇒x′(x−1)=x⇒x′=xx−1x * x' = xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow xx' - x - x' = 0 \Rightarrow x'(x-1) = x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, pentru x≠1x \neq 1. Pentru x=1x=1, ecuația devine 1∗x′=2⇒1⋅x′−1−x′+2=2⇒1=21 * x' = 2 \Rightarrow 1 \cdot x' - 1 - x' + 2 = 2 \Rightarrow 1 = 2, fals, deci x=1x=1 nu are simetric.
42 puncte
Rezolvarea ecuației: Calculăm x∗2=2x−x−2+2=xx * 2 = 2x - x - 2 + 2 = x. Apoi, x∗(x∗2)=x∗x=x⋅x−x−x+2=x2−2x+2x * (x * 2) = x * x = x \cdot x - x - x + 2 = x^2 - 2x + 2. Ecuația devine x2−2x+2=3⇒x2−2x−1=0⇒x=1±2x^2 - 2x + 2 = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}. Soluțiile sunt x=1+2x = 1 + \sqrt{2} și x=1−2x = 1 - \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.