MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea A={x∈R∣x≠−1}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} se definește legea de compoziție x△y=x+y1+xyx \triangle y = \frac{x+y}{1+xy}. a) Arătați că operația este comutativă. b) Găsiți elementul neutru. c) Pentru fiecare x∈Ax \in A, determinați simetricul său, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Comutativitatea: x△y=x+y1+xy=y+x1+yx=y△xx \triangle y = \frac{x+y}{1+xy} = \frac{y+x}{1+yx} = y \triangle x, deci operația este comutativă.
23 puncte
Căutăm e∈Ae \in A astfel încât x△e=xx \triangle e = x pentru orice x∈Ax \in A. Avem x+e1+xe=x\frac{x+e}{1+xe} = x, deci x+e=x(1+xe)=x+x2ex+e = x(1+xe) = x + x^2 e, așadar e=x2ee = x^2 e. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e=0 (deoarece dacă e≠0e \neq 0, atunci x2=1x^2 = 1 pentru orice xx, fals). Verificăm: x△0=x+01+x⋅0=xx \triangle 0 = \frac{x+0}{1+x \cdot 0} = x, și 0∈A0 \in A deoarece 0≠−10 \neq -1, deci elementul neutru este e=0e=0.
35 puncte
Pentru x∈Ax \in A, căutăm x′∈Ax' \in A astfel încât x△x′=e=0x \triangle x' = e = 0. Avem x+x′1+xx′=0\frac{x+x'}{1+xx'} = 0, deci x+x′=0x+x' = 0, adică x′=−xx' = -x. Trebuie să verificăm dacă x′∈Ax' \in A, adică −x≠−1-x \neq -1, deci x≠1x \neq 1. Pentru x=1x=1, avem x′=−1x' = -1, dar −1∉A-1 \notin A, deci simetricul nu există pentru x=1x=1. Pentru x∈A∖{1}x \in A \setminus \{1\}, simetricul este x′=−xx' = -x, și verificăm că −x∈A-x \in A deoarece dacă x≠−1x \neq -1, atunci −x≠1-x \neq 1 (nu este necesar, dar x≠1x \neq 1 asigură că −x≠−1-x \neq -1 doar dacă x≠1x \neq 1; de fapt, pentru x≠−1x \neq -1, −x-x poate fi orice, dar trebuie x′≠−1x' \neq -1, adică −x≠−1-x \neq -1, deci x≠1x \neq 1. Așadar, pentru x∈Ax \in A cu x≠1x \neq 1, simetricul există și este −x-x, iar pentru x=1x=1, nu există simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.