MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Liniare
Pe mulțimea M={(a,b)∣a,b∈R}M = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R} \} se definește operația ∘\circ prin (a,b)∘(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \circ (c,d) = (a+c, b+d+ac). Să se arate că (M,∘)(M, \circ) este un grup și să se rezolve ecuația (2,3)∘x=(5,1)(2,3) \circ x = (5,1).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică asociativitatea operației ∘\circ. Fie (a,b),(c,d),(e,f)∈M(a,b), (c,d), (e,f) \in M. Calculăm ((a,b)∘(c,d))∘(e,f)=(a+c,b+d+ac)∘(e,f)=(a+c+e,b+d+ac+f+(a+c)e)=(a+c+e,b+d+ac+f+ae+ce)((a,b) \circ (c,d)) \circ (e,f) = (a+c, b+d+ac) \circ (e,f) = (a+c+e, b+d+ac+f+(a+c)e) = (a+c+e, b+d+ac+f+ae+ce). Pe de altă parte, (a,b)∘((c,d)∘(e,f))=(a,b)∘(c+e,d+f+ce)=(a+c+e,b+d+f+ce+a(c+e))=(a+c+e,b+d+f+ce+ac+ae)(a,b) \circ ((c,d) \circ (e,f)) = (a,b) \circ (c+e, d+f+ce) = (a+c+e, b+d+f+ce+ a(c+e)) = (a+c+e, b+d+f+ce+ac+ae). Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
22 puncte
Se determină elementul neutru. Căutăm (e1,e2)(e_1, e_2) astfel încât (a,b)∘(e1,e2)=(a,b)(a,b) \circ (e_1,e_2) = (a,b) pentru orice (a,b)(a,b). Din (a+e1,b+e2+ae1)=(a,b)(a+e_1, b+e_2+ae_1) = (a,b), rezultă a+e1=a⇒e1=0a+e_1 = a \Rightarrow e_1 = 0 și b+e2+a⋅0=b⇒e2=0b+e_2+a \cdot 0 = b \Rightarrow e_2 = 0. Deci elementul neutru este (0,0)(0,0).
32 puncte
Se arată că fiecare element are simetric. Pentru (a,b)∈M(a,b) \in M, căutăm (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)∘(a′,b′)=(0,0)(a,b) \circ (a',b') = (0,0). Din (a+a′,b+b′+aa′)=(0,0)(a+a', b+b'+aa') = (0,0), rezultă a+a′=0⇒a′=−aa+a' = 0 \Rightarrow a' = -a și b+b′+a(−a)=0⇒b+b′−a2=0⇒b′=a2−bb+b'+a(-a) = 0 \Rightarrow b+b' - a^2 = 0 \Rightarrow b' = a^2 - b. Deci simetricul lui (a,b)(a,b) este (−a,a2−b)(-a, a^2 - b).
42 puncte
Se rezolvă ecuația (2,3)∘x=(5,1)(2,3) \circ x = (5,1). Fie x=(c,d)x = (c,d). Atunci (2,3)∘(c,d)=(2+c,3+d+2c)=(5,1)(2,3) \circ (c,d) = (2+c, 3+d+2c) = (5,1). Rezultă sistemul: {2+c=53+d+2c=1\begin{cases} 2+c = 5 \\ 3+d+2c = 1 \end{cases}. Din prima ecuație, c=3c = 3. Înlocuind în a doua, 3+d+6=1⇒d+9=1⇒d=−83+d+6 = 1 \Rightarrow d+9 = 1 \Rightarrow d = -8. Deci soluția este x=(3,−8)x = (3,-8).
52 puncte
Verificarea că (M,∘)(M, \circ) este grup: din pașii anteriori, operația este asociativă, are element neutru (0,0)(0,0) și fiecare element are simetric, deci (M,∘)(M, \circ) este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.