MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră operația ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=ax+by+cx * y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât operația să fie comutativă, asociativă și să admită element neutru e=2e = 2. Apoi, rezolvați ecuația x∗x=5x * x = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrieți condiția de comutativitate: x∗y=y∗xx * y = y * x pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}, deci ax+by+c=ay+bx+cax+by+c = ay+bx+c, de unde rezultă a=ba=b.
23 puncte
Scrieți condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R}. Calculând, obținem a2x+aby+ac+bz+c=ax+aby+b2z+bc+ca^2 x + ab y + ac + b z + c = a x + ab y + b^2 z + bc + c. Egalând coeficienții, avem a2=aa^2 = a, b2=bb^2 = b, și ac=bcac = bc.
32 puncte
Folosiți condiția elementului neutru e=2e=2: x∗2=xx * 2 = x pentru orice xx, deci ax+2b+c=xa x + 2b + c = x, de unde a=1a=1 și 2b+c=02b+c=0.
42 puncte
Din a=ba=b (de la step 1), a=1a=1 (de la step 3), avem b=1b=1. Din 2b+c=02b+c=0 cu b=1b=1, obținem c=−2c=-2. Verificați că aceste valori satisfac condițiile de la step 2: a2=a=1a^2=a=1, b2=b=1b^2=b=1, ac=1⋅(−2)=−2ac=1 \cdot (-2) = -2 și bc=1⋅(−2)=−2bc=1 \cdot (-2) = -2, deci ac=bcac=bc.
51 punct
Cu a=1a=1, b=1b=1, c=−2c=-2, operația este x∗y=x+y−2x * y = x + y - 2. Rezolvați x∗x=5x * x = 5: x+x−2=5x + x - 2 = 5, deci 2x=72x = 7, x=72x = \frac{7}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.