MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Pe mulțimea R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈R∖{−1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}. a) Demonstrați că (R∖{−1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{-1\}, *) este un grup abelian. b) Rezolvați sistemul de ecuații: {x∗y=0y∗z=1z∗x=2\begin{cases} x * y = 0 \\ y * z = 1 \\ z * x = 2 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea proprietăților de grup: asociativitatea (x∗y)∗z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz=x∗(y∗z)(x * y) * z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz = x * (y * z), elementul neutru e=0e=0 deoarece x∗0=xx * 0 = x, și simetricul lui xx este x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x} deoarece x∗x′=0x * x' = 0.
22 puncte
Verificarea comutativității: x∗y=y∗xx * y = y * x deoarece adunarea și înmulțirea sunt comutative.
35 puncte
Rezolvarea sistemului: se scrie sistemul ca {x+y+xy=0y+z+yz=1z+x+zx=2\begin{cases} x + y + xy = 0 \\ y + z + yz = 1 \\ z + x + zx = 2 \end{cases}; se adună ecuațiile și se manipulează pentru a obține (x+1)(y+1)(z+1)=3(x+1)(y+1)(z+1) = 3, apoi se rezolvă obținând soluțiile, de exemplu, x=0,y=0,z=1x=0, y=0, z=1 sau alte combinații verificabile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.