MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compoziție
Fie legea de compoziție ∗:R×R→R* : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin x∗y=xy−2x−2y+6x * y = xy - 2x - 2y + 6. a) Determinați elementul neutru al legii ∗*. b) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația (x∗x)∗3=1(x * x) * 3 = 1. c) Demonstrați că legea ∗* este asociativă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se caută elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Rezolvând x∗e=xe−2x−2e+6=xx * e = x e - 2x - 2e + 6 = x, se obține e=2e = 2.
23 puncte
Se calculează x∗x=x2−4x+6x * x = x^2 - 4x + 6. Apoi (x∗x)∗3=(x2−4x+6)∗3=(x2−4x+6)⋅3−2(x2−4x+6)−2⋅3+6=3x2−12x+18−2x2+8x−12−6+6=x2−4x+6(x * x) * 3 = (x^2 - 4x + 6) * 3 = (x^2 - 4x + 6) \cdot 3 - 2(x^2 - 4x + 6) - 2 \cdot 3 + 6 = 3x^2 - 12x + 18 - 2x^2 + 8x - 12 - 6 + 6 = x^2 - 4x + 6. Ecuația devine x2−4x+6=1x^2 - 4x + 6 = 1, adică x2−4x+5=0x^2 - 4x + 5 = 0. Discriminantul este Δ=16−20=−4<0\Delta = 16 - 20 = -4 < 0, deci nu are soluții reale.
34 puncte
Pentru a demonstra asociativitatea, se verifică (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. Calculând: (x∗y)∗z=(xy−2x−2y+6)∗z=(xy−2x−2y+6)z−2(xy−2x−2y+6)−2z+6=xyz−2xz−2yz+6z−2xy+4x+4y−12−2z+6=xyz−2xy−2xz−2yz+4x+4y+4z−6(x * y) * z = (xy - 2x - 2y + 6) * z = (xy - 2x - 2y + 6)z - 2(xy - 2x - 2y + 6) - 2z + 6 = xyz - 2xz - 2yz + 6z - 2xy + 4x + 4y - 12 - 2z + 6 = xyz - 2xy - 2xz - 2yz + 4x + 4y + 4z - 6. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−2y−2z+6)=x(yz−2y−2z+6)−2x−2(yz−2y−2z+6)+6=xyz−2xy−2xz+6x−2x−2yz+4y+4z−12+6=xyz−2xy−2xz−2yz+4x+4y+4z−6x * (y * z) = x * (yz - 2y - 2z + 6) = x(yz - 2y - 2z + 6) - 2x - 2(yz - 2y - 2z + 6) + 6 = xyz - 2xy - 2xz + 6x - 2x - 2yz + 4y + 4z - 12 + 6 = xyz - 2xy - 2xz - 2yz + 4x + 4y + 4z - 6. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.