MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie operația △\triangle definită pe R\mathbb{R} prin x△y=x3+y3+3xy−13x \triangle y = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + 3xy - 1} pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Demonstrați că △\triangle este asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Rezolvați ecuația x△2=3x \triangle 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrați asociativitatea calculând (x△y)△z=(x3+y3+3xy−13)3+z3+3(x3+y3+3xy−13)z−13(x \triangle y) \triangle z = \sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^3 + y^3 + 3xy - 1})^3 + z^3 + 3(\sqrt[3]{x^3 + y^3 + 3xy - 1})z - 1} și simplificați la x3+y3+z3+3xy+3xz+3yz−23\sqrt[3]{x^3 + y^3 + z^3 + 3xy + 3xz + 3yz - 2}, apoi calculați x△(y△z)x \triangle (y \triangle z) obținând același rezultat.
23 puncte
Căutați e∈Re \in \mathbb{R} astfel încât x△e=xx \triangle e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, rezolvând x3+e3+3xe−13=x\sqrt[3]{x^3 + e^3 + 3xe - 1} = x, ceea ce implică e3+3xe−1=0e^3 + 3xe - 1 = 0 pentru toți xx; deduceți că e=0e = 0 verifică și verificați că 0△x=x0 \triangle x = x.
33 puncte
Rezolvați ecuația x△2=3x \triangle 2 = 3 substituind în definiție: x3+8+6x−13=3\sqrt[3]{x^3 + 8 + 6x - 1} = 3, ridicați la puterea a treia pentru a obține x3+6x+7=27x^3 + 6x + 7 = 27, deci x3+6x−20=0x^3 + 6x - 20 = 0; factorizați sau rezolvați găsind x=2x = 2 ca rădăcină reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.