MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie operația binară ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=ax+by+cx * y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} sunt parametri reali. Studiați proprietățile de comutativitate și asociativitate ale operației ∗*. Apoi, pentru valorile particulare a=2a = 2, b=3b = 3, c=1c = 1, rezolvați în R\mathbb{R} ecuația (x∗1)∗2=3(x * 1) * 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de comutativitate: x∗y=y∗x⇒ax+by+c=ay+bx+c⇒a=bx * y = y * x \Rightarrow ax + by + c = ay + bx + c \Rightarrow a = b.
24 puncte
Condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)⇒a2x+aby+ac+bz+c=ax+aby+b2z+bc+c(x * y) * z = x * (y * z) \Rightarrow a^2 x + aby + ac + bz + c = ax + aby + b^2 z + bc + c. Egalând coeficienții, obținem a(a−1)=0a(a-1)=0, b(b−1)=0b(b-1)=0, și c(a−b)=0c(a-b)=0.
33 puncte
Pentru a=2a=2, b=3b=3, c=1c=1, avem x∗1=2x+3⋅1+1=2x+4x * 1 = 2x + 3 \cdot 1 + 1 = 2x+4. Apoi (x∗1)∗2=(2x+4)∗2=2(2x+4)+3⋅2+1=4x+8+6+1=4x+15(x * 1) * 2 = (2x+4) * 2 = 2(2x+4) + 3 \cdot 2 + 1 = 4x+8+6+1=4x+15. Ecuația devine 4x+15=3⇒x=−34x+15=3 \Rightarrow x=-3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.