MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} și legea de compoziție ∘\circ definită prin (a1+b12)∘(a2+b22)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2)2(a_1 + b_1\sqrt{2}) \circ (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{2}. Demonstrați că: a) Legea ∘\circ este comutativă. b) Există un element neutru. c) Arătați că pentru un element z=a+b2∈Mz = a + b\sqrt{2} \in M, există invers z−1∈Mz^{-1} \in M dacă și numai dacă a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea comutativității: calculați (a1+b12)∘(a2+b22)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2)2(a_1 + b_1\sqrt{2}) \circ (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{2} și (a2+b22)∘(a1+b12)=(a2a1+2b2b1)+(a2b1+b2a1)2(a_2 + b_2\sqrt{2}) \circ (a_1 + b_1\sqrt{2}) = (a_2a_1 + 2b_2b_1) + (a_2b_1 + b_2a_1)\sqrt{2}, care sunt egale din comutativitatea adunării și înmulțirii în Z\mathbb{Z}, deci legea este comutativă.
23 puncte
Găsirea elementului neutru: fie e=x+y2e = x + y\sqrt{2}, rezolvați (a+b2)∘e=a+b2(a + b\sqrt{2}) \circ e = a + b\sqrt{2} pentru orice a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}. Aceasta dă sistemul {ax+2by=aay+bx=b\begin{cases} ax + 2by = a \\ ay + bx = b \end{cases} pentru orice a,ba, b. Punând a=1,b=0a=1, b=0, obținem x=1,y=0x=1, y=0; verificați că e=1e=1 satisface pentru toate a,ba, b, deci e=1e=1 este element neutru.
34 puncte
Discuția despre invers: un element z=a+b2z = a + b\sqrt{2} are invers z−1=c+d2z^{-1} = c + d\sqrt{2} dacă z∘z−1=1z \circ z^{-1} = 1, adică (a+b2)∘(c+d2)=1(a + b\sqrt{2}) \circ (c + d\sqrt{2}) = 1. Aceasta conduce la sistemul {ac+2bd=1ad+bc=0\begin{cases} ac + 2bd = 1 \\ ad + bc = 0 \end{cases}. Rezolvând, obținem c=aa2−2b2c = \frac{a}{a^2 - 2b^2} și d=−ba2−2b2d = \frac{-b}{a^2 - 2b^2}. Pentru ca c,d∈Zc, d \in \mathbb{Z}, este necesar și suficient ca a2−2b2a^2 - 2b^2 să dividă aa și bb, ceea ce pentru numere întregi se reduce la a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1, condiție care asigură existența inversului în MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.