MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. Să se demonstreze că ∗* este asociativă și să se determine elementul neutru și elementele simetrizabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică asociativitatea: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈R∖{1}x,y,z \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. Calculând, (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xz−yz−xy+x+y+z(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xz - yz - xy + x + y + z. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Se caută elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Din x∗e=xe−x−e+2=xx * e = xe - x - e + 2 = x, rezultă xe−e=2x−2xe - e = 2x - 2, deci e(x−1)=2(x−1)e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, putem simplifica cu x−1x-1, obținând e=2e = 2. Verificăm: x∗2=2x−x−2+2=xx * 2 = 2x - x - 2 + 2 = x, deci 22 este elementul neutru.
34 puncte
Un element xx este simetrizabil dacă există x′x' astfel încât x∗x′=2x * x' = 2. Din x∗x′=xx′−x−x′+2=2x * x' = xx' - x - x' + 2 = 2, rezultă xx′−x−x′=0xx' - x - x' = 0, deci (x−1)(x′−1)=1(x-1)(x'-1) = 1. Astfel, x′=1+1x−1x' = 1 + \frac{1}{x-1}, cu condiția x≠1x \neq 1 (care este deja satisfăcută) și x′≠1x' \neq 1, adică x≠2x \neq 2. Deci, toate elementele x∈R∖{1,2}x \in \mathbb{R} \setminus \{1,2\} sunt simetrizabile, iar simetricul lui xx este x′=1+1x−1x' = 1 + \frac{1}{x-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.