MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} se definește legea de compoziție x∗y=x+y1+xyx * y = \frac{x+y}{1+xy}. a) Demonstrați că ∗* este asociativă. b) Găsiți elementul neutru. c) Pentru fiecare x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, determinați simetricul său. d) Rezolvați ecuația x∗2=3x * 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrați asociativitatea calculând (x∗y)∗z=x+y1+xy+z1+x+y1+xyz(x*y)*z = \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + \frac{x+y}{1+xy}z} și x∗(y∗z)=x+y+z1+yz1+xy+z1+yzx*(y*z) = \frac{x + \frac{y+z}{1+yz}}{1 + x\frac{y+z}{1+yz}}, simplificând pentru a arăta că sunt egale pentru orice x,y,z∈R∖{−1,1}x,y,z \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.\n
22 puncte
Determinați elementul neutru ee rezolvând x∗e=xx*e = x: x+e1+xe=x\frac{x+e}{1+xe} = x, de unde x+e=x(1+xe)x+e = x(1+xe), rezultă e(1−x2)=0e(1-x^2)=0 pentru orice xx, deci e=0e=0. Verificați că 0∗x=x∗0=x0*x = x*0 = x.\n
33 puncte
Pentru fiecare x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, găsiți simetricul x′x' rezolvând x∗x′=0x*x' = 0: x+x′1+xx′=0\frac{x+x'}{1+xx'} = 0, deci x+x′=0x+x' = 0 și 1+xx′≠01+xx' \neq 0, astfel x′=−xx' = -x (de verificat că −x∈R∖{−1,1}-x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} și x∗(−x)=0x*(-x)=0).\n
42 puncte
Rezolvați ecuația x∗2=3x*2=3: x+21+2x=3\frac{x+2}{1+2x} = 3, de unde x+2=3(1+2x)x+2 = 3(1+2x), rezultă x+2=3+6xx+2=3+6x, adică −5x=1-5x=1, deci x=−15x = -\frac{1}{5}, care aparține mulțimii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.