MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M=(0,∞)M = (0, \infty) se consideră legea de compoziție x∘y=x2+y2x \circ y = \sqrt{x^2 + y^2}. Verificați dacă această lege este comutativă și asociativă. Rezolvați apoi ecuația x∘x∘x=27x \circ x \circ x = 27.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: pentru orice x,y∈Mx, y \in M, x∘y=x2+y2=y2+x2=y∘xx \circ y = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{y^2 + x^2} = y \circ x, deci legea este comutativă.
24 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, calculăm (x∘y)∘z=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2(x \circ y) \circ z = \sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Similar, x∘(y∘z)=x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2x \circ (y \circ z) = \sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Deoarece ambele sunt egale cu x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, legea este asociativă.
34 puncte
Rezolvăm ecuația x∘x∘x=27x \circ x \circ x = 27. Datorită asociativității, putem scrie (x∘x)∘x=27(x \circ x) \circ x = 27. Calculăm x∘x=x2+x2=2x2=x2x \circ x = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} (deoarece x>0x > 0). Atunci (x∘x)∘x=(x2)∘x=(x2)2+x2=2x2+x2=3x2=x3(x \circ x) \circ x = (x\sqrt{2}) \circ x = \sqrt{(x\sqrt{2})^2 + x^2} = \sqrt{2x^2 + x^2} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}. Ecuația devine x3=27x\sqrt{3} = 27, deci x=273=93x = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}. Verificăm că 93∈(0,∞)9\sqrt{3} \in (0, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.