MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xyx \ast y = x + y - xy. Calculați 3∗43 \ast 4, demonstrați că legea este asociativă, determinați elementul neutru și, pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}, găsiți simetricul său față de această lege, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul lui 3∗43 \ast 4: 3∗4=3+4−3⋅4=7−12=−53 \ast 4 = 3 + 4 - 3 \cdot 4 = 7 - 12 = -5.
23 puncte
Demonstrarea asociativității: pentru orice x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R}, avem (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=x+y−xy+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \ast y) \ast z = (x+y-xy) \ast z = x+y-xy+z - (x+y-xy)z = x+y+z - xy - xz - yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+y+z−yz−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx \ast (y \ast z) = x \ast (y+z-yz) = x + y+z-yz - x(y+z-yz) = x+y+z - yz - xy - xz + xyz, deci sunt egale, așadar legea este asociativă.
32 puncte
Determinarea elementului neutru: fie ee astfel încât x∗e=xx \ast e = x pentru orice xx. Atunci x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x+e-xe = x \Rightarrow e(1-x)=0 pentru orice xx, deci e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0−x⋅0=xx \ast 0 = x+0-x\cdot0 = x, deci 00 este elementul neutru.
43 puncte
Găsirea simetricului: pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, fie a′a' simetricul, deci a∗a′=0a \ast a' = 0. Atunci a+a′−aa′=0⇒a′(1−a)=−a⇒a′=−a1−aa+a' - aa' = 0 \Rightarrow a'(1-a) = -a \Rightarrow a' = \frac{-a}{1-a} pentru a≠1a \neq 1. Dacă a=1a=1, ecuația devine 1+a′−a′=1=01+a' - a' = 1 = 0, imposibil, deci pentru a=1a=1 nu există simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.