MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} se definește legea de compoziție ⊕\oplus prin a⊕b=a+b+aba \oplus b = a + b + ab. a) Arătați că legea ⊕\oplus este comutativă și asociativă. b) Găsiți elementul neutru. c) Studiați pentru ce numere întregi nn există simetricul în raport cu această lege și determinați-l. d) Rezolvați ecuația x⊕x⊕x=7x \oplus x \oplus x = 7.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Comutativitatea: a⊕b=a+b+ab=b+a+ba=b⊕aa \oplus b = a+b+ab = b+a+ba = b \oplus a.
22 puncte
Asociativitatea: (a⊕b)⊕c=(a+b+ab)⊕c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc=a⊕(b⊕c)(a \oplus b) \oplus c = (a+b+ab) \oplus c = a+b+ab + c + (a+b+ab)c = a+b+c + ab+ac+bc+abc = a \oplus (b \oplus c).
32 puncte
Elementul neutru ee: din a⊕e=aa \oplus e = a avem a+e+ae=aa+e+ae = a, deci e(1+a)=0e(1+a)=0 pentru orice aa, de unde e=0e=0. Se verifică că 0⊕a=a⊕0=a0 \oplus a = a \oplus 0 = a.
42 puncte
Simetricul pentru n∈Zn \in \mathbb{Z}: să existe n′n' cu n⊕n′=0n \oplus n' = 0. Atunci n+n′+nn′=0n+n'+nn' =0, deci n′(1+n)=−nn'(1+n) = -n. Dacă n≠−1n \neq -1, atunci n′=−n1+nn' = -\frac{n}{1+n}. Pentru n′∈Zn' \in \mathbb{Z}, 1+n1+n trebuie să dividă nn, ceea ce implică 1+n∣−11+n \mid -1, deci 1+n∈{−1,1}1+n \in \{-1,1\}, adică n∈{−2,0}n \in \{-2,0\}. Pentru n=0n=0, n′=0n'=0; pentru n=−2n=-2, n′=−2n'=-2. Pentru n=−1n=-1, ecuația devine −1+n′−n′=0-1+n' -n' =0 sau −1=0-1=0, imposibil, deci nu există simetric.
52 puncte
Rezolvarea ecuației: x⊕x=x+x+xx=2x+x2x \oplus x = x+x+xx = 2x + x^2. Atunci (2x+x2)⊕x=(2x+x2)+x+(2x+x2)x=x3+3x2+3x(2x+x^2) \oplus x = (2x+x^2) + x + (2x+x^2)x = x^3 + 3x^2 + 3x. Ecuația x3+3x2+3x=7x^3 + 3x^2 + 3x = 7 se scrie (x+1)3−1=7(x+1)^3 -1 =7, deci (x+1)3=8(x+1)^3=8, de unde x+1=2x+1=2, adică x=1x=1. Verificare: 1⊕1⊕1=71 \oplus 1 \oplus 1 = 7.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.