MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Fie legea de compoziție ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=(x−1)(y−1)+kx * y = (x-1)(y-1) + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R} este un parametru. Determinați kk astfel încât legea să admită element neutru și găsiți acest element. Pentru valoarea găsită a lui kk, rezolvați ecuația x∗x=xx * x = x.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Fie ee elementul neutru. Atunci pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, e∗x=xe * x = x, adică (e−1)(x−1)+k=x(e-1)(x-1) + k = x. Dezvoltăm: (e−1)x−(e−1)+k=x⇒(e−1)x+k−e+1=x(e-1)x - (e-1) + k = x \Rightarrow (e-1)x + k - e + 1 = x. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, avem e−1=1⇒e=2e-1 = 1 \Rightarrow e = 2 și k−e+1=0⇒k−2+1=0⇒k=1k - e + 1 = 0 \Rightarrow k - 2 + 1 = 0 \Rightarrow k = 1. Verificăm: cu e=2e=2 și k=1k=1, 2∗x=(2−1)(x−1)+1=1⋅(x−1)+1=x2 * x = (2-1)(x-1) + 1 = 1 \cdot (x-1) + 1 = x, deci elementul neutru este 22 și k=1k=1.
26 puncte
Pentru k=1k=1, legea devine x∗y=(x−1)(y−1)+1x * y = (x-1)(y-1) + 1. Ecuația x∗x=xx * x = x se scrie (x−1)2+1=x⇒x2−2x+1+1=x⇒x2−3x+2=0⇒(x−1)(x−2)=0⇒x=1(x-1)^2 + 1 = x \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + 1 = x \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1 sau x=2x=2. Verificăm: pentru x=1x=1, 1∗1=(0)(0)+1=11 * 1 = (0)(0) + 1 = 1; pentru x=2x=2, 2∗2=(1)(1)+1=22 * 2 = (1)(1) + 1 = 2. Deci soluțiile sunt x∈{1,2}x \in \{1, 2\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.