MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie ∗\ast o lege de compoziție pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=ax+by+cx \ast y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați constantele a,b,ca, b, c astfel încât operația să fie comutativă, asociativă și să aibă elementul neutru 00.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Condiția de comutativitate: x∗y=y∗xx \ast y = y \ast x pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. ax+by+c=ay+bx+c⇒(a−b)x+(b−a)y=0ax + by + c = ay + bx + c \Rightarrow (a-b)x + (b-a)y = 0, deci a=ba = b.
24 puncte
Condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z) pentru orice x,y,zx,y,z. Cu a=ba=b, avem x∗y=a(x+y)+cx \ast y = a(x+y) + c. Atunci (x∗y)∗z=a[a(x+y)+c]+az+c=a2(x+y)+ac+az+c(x \ast y) \ast z = a[a(x+y)+c] + a z + c = a^2(x+y) + ac + az + c și x∗(y∗z)=ax+a[a(y+z)+c]+c=ax+a2(y+z)+ac+cx \ast (y \ast z) = a x + a[a(y+z)+c] + c = a x + a^2(y+z) + ac + c. Egalând, obținem a2x+a2y+az=ax+a2y+a2za^2 x + a^2 y + az = a x + a^2 y + a^2 z, de unde a2x+az=ax+a2za^2 x + az = a x + a^2 z. Pentru orice x,zx,z, aceasta implică a2=aa^2 = a, deci a(a−1)=0a(a-1)=0, adică a=0a=0 sau a=1a=1.
32 puncte
Condiția elementului neutru 00: x∗0=xx \ast 0 = x pentru orice xx. x∗0=ax+b⋅0+c=ax+c=xx \ast 0 = ax + b\cdot 0 + c = ax + c = x, deci ax+c=xax + c = x. Pentru orice xx, avem a=1a=1 și c=0c=0.
41 punct
Din a=1a=1 și c=0c=0, și din a=ba=b, avem b=1b=1. Verificăm că pentru a=1,b=1,c=0a=1, b=1, c=0, operația x∗y=x+yx \ast y = x + y satisface toate condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.