MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea G=Q∖{−1}G = \mathbb{Q} \setminus \{-1\} se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=x+y+xyx \circ y = x + y + xy, pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∘)(G, \circ) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea bunei definiri: dacă x,y∈Gx, y \in G, atunci x∘y=x+y+xyx \circ y = x + y + xy. Trebuie să arătăm că x∘y∈Gx \circ y \in G, adică x∘y≠−1x \circ y \neq -1. Presupunem prin absurd că x+y+xy=−1⇒xy+x+y+1=0⇒(x+1)(y+1)=0x + y + xy = -1 \Rightarrow xy + x + y + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, ceea ce contrazice faptul că x,y∈Gx, y \in G. Așadar, x∘y∈Gx \circ y \in G.
23 puncte
Demonstrarea asociativității: calculăm (x∘y)∘z=(x+y+xy)∘z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x + y + xy) \circ z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz și x∘(y∘z)=x∘(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz . Expresiile sunt identice, deci operația este asociativă.
32 puncte
Găsirea elementului neutru: căutăm ee astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice xx. Rezolvăm x∘e=x+e+xe=x⇒e+xe=0⇒e(1+x)=0x \circ e = x + e + xe = x \Rightarrow e + xe = 0 \Rightarrow e(1+x)=0. Deoarece x≠−1x \neq -1, avem 1+x≠01+x \neq 0, deci e=0e=0. Verificăm: x∘0=x+0+x⋅0=xx \circ 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x, deci e=0e=0 este element neutru.
42 puncte
Găsirea elementelor simetrice: pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm x′x' astfel încât x∘x′=0x \circ x' = 0. Rezolvăm x+x′+xx′=0⇒x′+xx′=−x⇒x′(1+x)=−xx + x' + xx' = 0 \Rightarrow x' + xx' = -x \Rightarrow x'(1+x) = -x. Cum x≠−1x \neq -1, avem 1+x≠01+x \neq 0, deci x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}. Verificăm că x′∈Gx' \in G: dacă x′=−1x' = -1, atunci −x1+x=−1⇒−x=−1−x⇒0=−1\frac{-x}{1+x} = -1 \Rightarrow -x = -1 - x \Rightarrow 0 = -1, imposibil. Așadar, x′∈Gx' \in G.
51 punct
Demonstrarea comutativității: x∘y=x+y+xy=y+x+yx=y∘xx \circ y = x + y + xy = y + x + yx = y \circ x, deci operația este comutativă. În concluzie, (G,∘)(G, \circ) este grup abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.