MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} se definește operația ∘\circ prin x∘y=x+y−xyx \circ y = x + y - xy. a) Studiați dacă operația ∘\circ este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru ce valori ale lui a∈Za \in \mathbb{Z} ecuația a∘x=0a \circ x = 0 are soluții în Z\mathbb{Z}? d) Considerând operația ∘\circ pe R\mathbb{R}, arătați că (R,∘)(\mathbb{R}, \circ) nu este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Comutativitatea: x∘y=x+y−xyx \circ y = x + y - xy, iar y∘x=y+x−yx=x+y−xyy \circ x = y + x - yx = x + y - xy, deci operația este comutativă.
23 puncte
Asociativitatea: calculează (x∘y)∘z=(x+y−xy)∘z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y−xy+z−xz−yz+xyz=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x + y - xy) \circ z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz + xyz, iar x∘(y∘z)=x∘(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyz=x+y+z−xy−xz−yz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz + xyz, deci sunt egale.
32 puncte
Elementul neutru ee: din x∘e=xx \circ e = x, adică x+e−xe=xx + e - xe = x, rezultă e−xe=0e - xe = 0, deci e(1−x)=0e(1-x)=0 pentru orice xx. Pentru x=0x=0, obținem e⋅1=0e \cdot 1 = 0, deci e=0e=0. Verifică: 0∘x=0+x−0⋅x=x0 \circ x = 0 + x - 0 \cdot x = x.
43 puncte
Ecuația a∘x=0a \circ x = 0: a+x−ax=0a + x - ax = 0, adică x(1−a)=−ax(1-a) = -a. Pentru a=1a=1, ecuația devine 1+x−x=01 + x - x = 0, fals. Pentru a≠1a \neq 1, x=−a1−a=aa−1x = \frac{-a}{1-a} = \frac{a}{a-1}. Aceasta este în Z\mathbb{Z} dacă a−1a-1 divide aa, adică a−1∣aa-1 \mid a, ceea ce implică a−1∣1a-1 \mid 1, deci a−1∈{−1,1}a-1 \in \{ -1, 1 \}, adică a∈{0,2}a \in \{0, 2\}. Verifică: pentru a=0a=0, x=0x=0; pentru a=2a=2, x=2x=2. step 5, implicit în d): Pentru a arăta că (R,∘)(\mathbb{R}, \circ) nu este grup, se observă că nu toate elementele au simetric: de exemplu, pentru x=1x=1, ecuația 1∘x′=01 \circ x' = 0 devine 1+x′−x′=01 + x' - x' = 0, fals, deci 11 nu are simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.