MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗* pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=ax+by+cx * y = ax + by + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât ∗* să fie comutativă, asociativă și să admită elementul neutru e=2e = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condiția de comutativitate: x∗y=y∗xx * y = y * x pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Obținem ax+by+c=ay+bx+cax + by + c = ay + bx + c, de unde a=ba = b.
24 puncte
Scriem condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. Calculăm ambele părți și obținem a2x+aby+ac+bz+c=ax+aby+b2z+bc+ca^2 x + ab y + ac + b z + c = a x + ab y + b^2 z + bc + c. Simplificând, pentru toți x,y,zx, y, z, avem a2=aa^2 = a și b=b2b = b^2. Din a=ba = b de la step 1, rezultă a=b=0a = b = 0 sau a=b=1a = b = 1.
34 puncte
Scriem condiția pentru elementul neutru e=2e = 2: x∗2=2∗x=xx * 2 = 2 * x = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Obținem ax+2b+c=xa x + 2b + c = x și 2a+bx+c=x2a + b x + c = x, de unde a=1a = 1, b=1b = 1 și 2+c=02 + c = 0 deci c=−2c = -2. Verificăm că pentru a=b=1a = b = 1 și c=−2c = -2, condițiile de asociativitate sunt îndeplinite. Prin urmare, a=1a = 1, b=1b = 1, c=−2c = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.