MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \}, se definește legea de compoziție (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad + b). Arătați că (G,∗)(G, \ast) este un grup. Găsiți elementul neutru și simetricul unui element arbitrar (a,b)∈G(a,b) \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați că operația este internă: pentru orice (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, (a,b)∗(c,d)∈G(a,b) \ast (c,d) \in G.
23 puncte
Demonstrați asociativitatea: ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(a,b)∗((c,d)∗(e,f))((a,b) \ast (c,d)) \ast (e,f) = (a,b) \ast ((c,d) \ast (e,f)) pentru orice (a,b),(c,d),(e,f)∈G(a,b), (c,d), (e,f) \in G.
32 puncte
Determinați elementul neutru eG=(e1,e2)e_G = (e_1, e_2) astfel încât (a,b)∗eG=(a,b)(a,b) \ast e_G = (a,b) pentru orice (a,b)∈G(a,b) \in G.
42 puncte
Pentru un element (a,b)∈G(a,b) \in G, găsiți elementul simetric (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)∗(a′,b′)=eG(a,b) \ast (a',b') = e_G.
51 punct
Concluzionați că (G,∗)(G, \ast) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.