MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Considerăm mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R}M = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} și operația ⊕\oplus definită prin (x1,y1)⊕(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2+x1x2)(x_1, y_1) \oplus (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2 + x_1 x_2) pentru orice (x1,y1),(x2,y2)∈M(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in M. a) Demonstrați că ⊕\oplus este asociativă. b) Găsiți elementul neutru față de ⊕\oplus. c) Arătați că fiecare element (x,y)∈M(x, y) \in M are un invers și determinați-l.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrăm asociativitatea: Calculăm ((x1,y1)⊕(x2,y2))⊕(x3,y3)=(x1+x2,y1+y2+x1x2)⊕(x3,y3)=(x1+x2+x3,(y1+y2+x1x2)+y3+(x1+x2)x3)=(x1+x2+x3,y1+y2+y3+x1x2+x1x3+x2x3)((x_1,y_1) \oplus (x_2,y_2)) \oplus (x_3,y_3) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2 + x_1 x_2) \oplus (x_3,y_3) = (x_1 + x_2 + x_3, (y_1 + y_2 + x_1 x_2) + y_3 + (x_1 + x_2)x_3) = (x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3). Apoi, (x1,y1)⊕((x2,y2)⊕(x3,y3))=(x1,y1)⊕(x2+x3,y2+y3+x2x3)=(x1+x2+x3,y1+(y2+y3+x2x3)+x1(x2+x3))=(x1+x2+x3,y1+y2+y3+x2x3+x1x2+x1x3)(x_1,y_1) \oplus ((x_2,y_2) \oplus (x_3,y_3)) = (x_1,y_1) \oplus (x_2 + x_3, y_2 + y_3 + x_2 x_3) = (x_1 + x_2 + x_3, y_1 + (y_2 + y_3 + x_2 x_3) + x_1 (x_2 + x_3)) = (x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 + x_2 x_3 + x_1 x_2 + x_1 x_3). Cele două rezultate sunt egale, deci ⊕\oplus este asociativă.
23 puncte
Găsim elementul neutru e=(e1,e2)e = (e_1, e_2): Din (x,y)⊕(e1,e2)=(x,y)(x,y) \oplus (e_1,e_2) = (x,y), avem (x+e1,y+e2+xe1)=(x,y)⇒x+e1=x⇒e1=0(x + e_1, y + e_2 + x e_1) = (x,y) \Rightarrow x + e_1 = x \Rightarrow e_1 = 0 și y+e2+x⋅0=y⇒e2=0y + e_2 + x \cdot 0 = y \Rightarrow e_2 = 0. Deci e=(0,0)e = (0,0). Verificăm: (x,y)⊕(0,0)=(x+0,y+0+x⋅0)=(x,y)(x,y) \oplus (0,0) = (x+0, y+0 + x \cdot 0) = (x,y) și (0,0)⊕(x,y)=(0+x,0+y+0⋅x)=(x,y)(0,0) \oplus (x,y) = (0+x, 0+y + 0 \cdot x) = (x,y), deci (0,0)(0,0) este element neutru.
33 puncte
Determinăm inversul: Pentru (x,y)∈M(x,y) \in M, căutăm (x′,y′)(x',y') astfel încât (x,y)⊕(x′,y′)=(0,0)(x,y) \oplus (x',y') = (0,0). Avem (x+x′,y+y′+xx′)=(0,0)⇒x+x′=0⇒x′=−x(x + x', y + y' + x x') = (0,0) \Rightarrow x + x' = 0 \Rightarrow x' = -x, și y+y′+x(−x)=0⇒y+y′−x2=0⇒y′=−y+x2y + y' + x(-x) = 0 \Rightarrow y + y' - x^2 = 0 \Rightarrow y' = -y + x^2. Deci inversul lui (x,y)(x,y) este (−x,−y+x2)(-x, -y + x^2). Verificăm: (x,y)⊕(−x,−y+x2)=(x−x,y+(−y+x2)+x(−x))=(0,x2−x2)=(0,0)(x,y) \oplus (-x, -y + x^2) = (x - x, y + (-y + x^2) + x(-x)) = (0, x^2 - x^2) = (0,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.