MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ∗* o lege de compoziție pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. a) Arătați că ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element x∈Rx \in \mathbb{R}. c) Rezolvați ecuația (x∗x)∗2=10(x * x) * 2 = 10.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, observăm că x∗y=xy+x+y=yx+y+x=y∗xx * y = xy + x + y = yx + y + x = y * x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Pentru asociativitate, calculăm (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z; expresiile sunt egale, deci legea este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru ee se determină din x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Avem x∗e=xe+x+e=xx * e = xe + x + e = x, deci xe+e=0xe + e = 0, adică e(x+1)=0e(x+1)=0 pentru orice xx, ceea ce implică e=0e=0; verificăm x∗0=xx * 0 = x.
42 puncte
Simetricul x′x' al lui xx se găsește din x∗x′=e=0x * x' = e = 0. Avem xx′+x+x′=0x x' + x + x' = 0, deci x′(x+1)=−xx'(x+1) = -x; pentru x≠−1x \neq -1, x′=−xx+1x' = -\frac{x}{x+1}; pentru x=−1x = -1, nu există simetric.
51 punct
Rezolvăm ecuația (x∗x)∗2=10(x * x) * 2 = 10. Calculăm x∗x=x2+2xx * x = x^2 + 2x, apoi (x2+2x)∗2=(x2+2x)⋅2+(x2+2x)+2=3x2+6x+2(x^2 + 2x) * 2 = (x^2+2x) \cdot 2 + (x^2+2x) + 2 = 3x^2+6x+2; ecuația devine 3x2+6x+2=103x^2+6x+2=10, adică 3x2+6x−8=03x^2+6x-8=0 cu soluțiile x=−3±333x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.