MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie M={(a,b)∣a,b∈R}M = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R} \} și operația ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). a) Demonstrați că ∗* este asociativă. b) Găsiți elementul neutru, dacă există. c) Studiați comutativitatea. d) Rezolvați sistemul de ecuații: {(x,y)∗(2,1)=(4,3)(1,0)∗(x,y)=(2,1)\begin{cases} (x,y) * (2,1) = (4,3) \\ (1,0) * (x,y) = (2,1) \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b) * (c,d)) * (e,f) = (ac, ad+b) * (e,f) = (ace, acf + ad + b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b) * ((c,d) * (e,f)) = (a,b) * (ce, cf+d) = (ace, a(cf+d) + b) = (ace, acf + ad + b), deci ambele sunt egale, arătând că operația este asociativă.
22 puncte
Se caută (e1,e2)∈M(e_1, e_2) \in M astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b) * (e_1, e_2) = (a,b) pentru orice (a,b)(a,b). Aceasta dă ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b. Pentru a≠0a \neq 0, rezultă e1=1e_1 = 1 și e2=0e_2 = 0. Verificând, (1,0)∗(a,b)=(a,a⋅0+b)=(a,b)(1,0) * (a,b) = (a, a\cdot0 + b) = (a,b), și (a,b)∗(1,0)=(a,a⋅0+b)=(a,b)(a,b) * (1,0) = (a, a\cdot0 + b) = (a,b), deci elementul neutru este (1,0)(1,0).
32 puncte
Se verifică comutativitatea: (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad+b) și (c,d)∗(a,b)=(ca,cb+d)=(ac,cb+d)(c,d) * (a,b) = (ca, cb+d) = (ac, cb+d). Pentru ca acestea să fie egale, trebuie ad+b=cb+dad+b = cb+d pentru orice a,b,c,da,b,c,d, ceea ce nu este adevărat; de exemplu, pentru a=0,b=1,c=1,d=0a=0, b=1, c=1, d=0, avem (0,1)∗(1,0)=(0,0+1)=(0,1)(0,1) * (1,0) = (0, 0+1) = (0,1) și (1,0)∗(0,1)=(0,1+0)=(0,1)(1,0) * (0,1) = (0, 1+0) = (0,1), dar în general nu este comutativă, deoarece condiția nu este satisfăcută pentru toate cazurile (e.g., a=1,b=0,c=2,d=3a=1, b=0, c=2, d=3).
43 puncte
Din sistemul {(x,y)∗(2,1)=(4,3)(1,0)∗(x,y)=(2,1)\begin{cases} (x,y) * (2,1) = (4,3) \\ (1,0) * (x,y) = (2,1) \end{cases}, se obține: prima ecuație dă (2x,x+y)=(4,3)(2x, x + y) = (4,3), deci 2x=42x=4 și x+y=3x+y=3, rezultă x=2x=2 și y=1y=1. A doua ecuație dă (x,y)=(2,1)(x, y) = (2,1), deci x=2x=2 și y=1y=1, care este consistent. Soluția sistemului este (x,y)=(2,1)(x,y) = (2,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.