MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul al II-lea
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Să se arate că legea ∗* este asociativă. b) Să se determine elementul neutru. c) Să se determine simetricul fiecărui element x∈Rx \in \mathbb{R} față de această lege. d) Să se rezolve ecuația (x∗x)∗2=3(x * x) * 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea asociativității: Calculăm (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z. Calculăm x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Se observă că expresiile sunt egale, deci legea este asociativă.
22 puncte
Determinarea elementului neutru: Fie ee elementul neutru, atunci x∗e=xx * e = x pentru orice xx. x∗e=xe+x+e=x⇒xe+e=0⇒e(x+1)=0x * e = xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x+1) = 0 pentru orice xx, deci e=0e=0. Verificare: x∗0=x⋅0+x+0=xx * 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x, deci e=0e=0.
33 puncte
Determinarea simetricului: Fie x′x' simetricul lui xx, atunci x∗x′=e=0x * x' = e = 0. x∗x′=xx′+x+x′=0⇒xx′+x+x′=0⇒x′(x+1)=−x⇒x′=−xx+1x * x' = xx' + x + x' = 0 \Rightarrow xx' + x + x' = 0 \Rightarrow x'(x+1) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{x+1}, pentru x≠−1x \neq -1. Pentru x=−1x = -1, ecuația devine −1∗x′=0⇒−1⋅x′+(−1)+x′=0⇒−x′−1+x′=−1=0-1 * x' = 0 \Rightarrow -1 \cdot x' + (-1) + x' = 0 \Rightarrow -x' -1 + x' = -1 = 0, fals, deci x=−1x = -1 nu are simetric.
43 puncte
Rezolvarea ecuației: Calculăm x∗x=x⋅x+x+x=x2+2xx * x = x \cdot x + x + x = x^2 + 2x. Apoi, (x∗x)∗2=(x2+2x)∗2=(x2+2x)⋅2+(x2+2x)+2=2x2+4x+x2+2x+2=3x2+6x+2(x * x) * 2 = (x^2 + 2x) * 2 = (x^2 + 2x) \cdot 2 + (x^2 + 2x) + 2 = 2x^2 + 4x + x^2 + 2x + 2 = 3x^2 + 6x + 2. Ecuația devine 3x2+6x+2=3⇒3x2+6x−1=0⇒x2+2x−13=03x^2 + 6x + 2 = 3 \Rightarrow 3x^2 + 6x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - \frac{1}{3} = 0. Soluțiile sunt x=−1±1+13=−1±43=−1±23x = -1 \pm \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = -1 \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = -1 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}. Deci soluțiile reale sunt x=−1+233x = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} și x=−1−233x = -1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.