MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și legea de compoziție ∘\circ definită prin x∘y=x+y−xyx \circ y = x + y - xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Să se demonstreze că (G,∘)(G, \circ) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm că ∘\circ este bine definită pe GG: pentru x,y∈Gx, y \in G, x∘y=x+y−xyx \circ y = x + y - xy. Presupunem prin absurd că x+y−xy=1x + y - xy = 1. Atunci x+y−xy−1=0⇒(x−1)(1−y)=0x + y - xy - 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(1-y) = 0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, dar x,y∈Gx, y \in G implică x≠1x \neq 1 și y≠1y \neq 1, contradicție. Așadar, x∘y∈Gx \circ y \in G.
22 puncte
Comutativitatea: x∘y=x+y−xy=y+x−yx=y∘xx \circ y = x + y - xy = y + x - yx = y \circ x, deci ∘\circ este comutativă.
33 puncte
Asociativitatea: (x∘y)∘z=(x+y−xy)∘z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x + y - xy) \circ z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. Similar, x∘(y∘z)=x∘(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz. Expresiile sunt egale, deci ∘\circ este asociativă.
42 puncte
Elementul neutru: Se caută e∈Ge \in G astfel încât e∘x=xe \circ x = x pentru orice x∈Gx \in G. Din e+x−ex=xe + x - ex = x, rezultă e−ex=0e - ex = 0, deci e(1−x)=0e(1-x) = 0 pentru orice x∈Gx \in G, ceea ce implică e=0e=0. Verificăm că 0∈G0 \in G deoarece 0≠10 \neq 1. Așadar, elementul neutru este 00.
51 punct
Inversul: Pentru x∈Gx \in G, se caută x′∈Gx' \in G astfel încât x∘x′=0x \circ x' = 0. Din x+x′−xx′=0x + x' - xx' = 0, rezultă x′(1−x)=−xx'(1-x) = -x, deci dacă x≠1x \neq 1, atunci x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}. Verificăm că x′∈Gx' \in G: dacă x′=1x' = 1, atunci xx−1=1⇒x=x−1⇒0=−1\frac{x}{x-1} = 1 \Rightarrow x = x-1 \Rightarrow 0=-1, imposibil, deci x′≠1x' \neq 1. Așadar, orice x∈Gx \in G are invers x′=xx−1∈Gx' = \frac{x}{x-1} \in G. În concluzie, (G,∘)(G, \circ) este un grup abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.