MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați a,b,ca, b, c astfel încât legea să fie comutativă și asociativă. b) Găsiți elementul neutru, dacă există. c) Rezolvați ecuația x∗2=5x * 2 = 5 în R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condiția de comutativitate: x∗y=y∗xx * y = y * x pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, care dă xy+ax+by+c=yx+ay+bx+cxy + ax + by + c = yx + ay + bx + c, deci a=ba = b. Condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}; calculând obținem a=ba = b și c=abc = ab.
23 puncte
Din a=ba = b și c=ab=a2c = ab = a^2, deci a=b=ta = b = t și c=t2c = t^2 pentru t∈Rt \in \mathbb{R}. Verificăm că pentru a=ba = b, legea este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Folosind a=b=ta = b = t și c=t2c = t^2, avem x∗e=xe+tx+te+t2=xx * e = xe + tx + te + t^2 = x. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, obținem sistemul {e+t=1te+t2=0\begin{cases} e + t = 1 \\ te + t^2 = 0 \end{cases}. Rezolvând, găsim t=0t = 0 și e=1e = 1.
42 puncte
Pentru t=0t = 0, legea devine x∗y=xyx * y = xy. Ecuația x∗2=5x * 2 = 5 devine 2x=52x = 5, deci x=52x = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.