MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Arătați că ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Demonstrați că pentru orice x∈R∖{−1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, există simetricul în raport cu ∗*. d) Rezolvați ecuația (x∗2)∗3=7(x * 2) * 3 = 7.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = x + y + xy + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + y + z + yz + x(y + z + yz) = x + y + z + xy + xz + xyz, arătând că sunt egale, deci ∗* este asociativă.
22 puncte
Rezolvați x∗e=xx * e = x: x+e+xe=x⇒e(1+x)=0x + e + xe = x \Rightarrow e(1+x) = 0. Pentru x≠−1x \neq -1, obținem e=0e=0. Verificați că 0∗x=x0 * x = x, deci elementul neutru este e=0e=0.
33 puncte
Pentru x≠−1x \neq -1, căutați simetricul x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0: x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1+x) = -x \Rightarrow x' = -\frac{x}{1+x}. Verificați că și x′∗x=0x' * x = 0, deci simetricul există.
43 puncte
Folosiți asociativitatea: (x∗2)∗3=7(x * 2) * 3 = 7. Calculați x∗2=x+2+2x=3x+2x * 2 = x + 2 + 2x = 3x + 2. Apoi (3x+2)∗3=(3x+2)+3+(3x+2)3=3x+2+3+9x+6=12x+11(3x+2) * 3 = (3x+2) + 3 + (3x+2)3 = 3x+2+3+9x+6 = 12x+11. Ecuația devine 12x+11=7⇒12x=−4⇒x=−1312x+11=7 \Rightarrow 12x=-4 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}. Verificați dacă x≠−1x \neq -1, ceea ce este adevărat, deci soluția este x=−13x=-\frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.