MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie ∗* o lege de compoziție pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=ax+by+cx * y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine a,b,ca, b, c astfel încât ∗* să fie comutativă și asociativă. În acest caz, să se afle elementul neutru și să se studieze dacă fiecare element are simetric.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
12 puncte
Impuneți condiția de comutativitate: x∗y=y∗xx * y = y * x pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Obțineți ax+by+c=ay+bx+c⇒(a−b)(x−y)=0ax + by + c = ay + bx + c \Rightarrow (a-b)(x-y) = 0, deci a=ba = b.
23 puncte
Impuneți condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R}. Folosind a=ba = b din step 1, calculați x∗y=a(x+y)+cx * y = a(x+y) + c. Atunci (x∗y)∗z=a(a(x+y)+c)+az+c=a2(x+y)+az+ac+c(x * y) * z = a(a(x+y) + c) + a z + c = a^2(x+y) + a z + ac + c, iar x∗(y∗z)=ax+a(a(y+z)+c)+c=ax+a2(y+z)+ac+cx * (y * z) = a x + a(a(y+z) + c) + c = a x + a^2(y+z) + ac + c. Egalând, rezultă a2x+a2y+az=ax+a2y+a2z⇒(a2−a)x+(a−a2)z=0a^2 x + a^2 y + a z = a x + a^2 y + a^2 z \Rightarrow (a^2 - a)x + (a - a^2)z = 0 pentru orice x,z∈Rx,z \in \mathbb{R}, deci a2−a=0a^2 - a = 0, adică a(a−1)=0a(a-1) = 0.
32 puncte
Din step 1 și step 2, avem a=ba = b și a(a−1)=0a(a-1)=0, deci cazurile: a=0a=0 sau a=1a=1. Pentru a=0a=0, atunci b=0b=0 și x∗y=cx * y = c; pentru a=1a=1, atunci b=1b=1 și x∗y=x+y+cx * y = x + y + c. Ambele sunt comutative și asociative.
42 puncte
Găsiți elementul neutru. Pentru a=1,b=1a=1, b=1: Fie ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Rezultă x+e+c=x⇒e=−cx + e + c = x \Rightarrow e = -c. Verificați: e∗x=−c+x+c=xe * x = -c + x + c = x, deci e=−ce = -c este element neutru. Pentru a=0,b=0a=0, b=0: x∗y=cx * y = c, atunci x∗e=xx * e = x implică c=xc = x pentru orice xx, imposibil, deci nu există element neutru.
51 punct
Studiați existența simetricelor. Pentru a=1,b=1a=1, b=1 cu element neutru e=−ce = -c, simetricul x′x' al lui xx satisface x∗x′=e⇒x+x′+c=−c⇒x′=−x−2cx * x' = e \Rightarrow x + x' + c = -c \Rightarrow x' = -x - 2c, deci fiecare element are simetric. Pentru a=0,b=0a=0, b=0, lipsa elementului neutru face că simetricele nu pot fi definite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.