MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și legea de compoziție ∘\circ definită prin x∘y=xyx \circ y = \sqrt{xy}. Studiați proprietățile acestei legi: verificați dacă este asociativă, comutativă, are element neutru și dacă fiecare element are invers. Apoi, rezolvați în MM ecuația x∘(x∘a)=bx \circ (x \circ a) = b, unde a,b∈Ma, b \in M sunt constante date.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați comutativitatea: x∘y=xy=yx=y∘xx \circ y = \sqrt{xy} = \sqrt{yx} = y \circ x, deci legea este comutativă;
23 puncte
Verificați asociativitatea: calculați (x∘y)∘z=(xy)⋅z=(xyz2)1/4(x \circ y) \circ z = \sqrt{(\sqrt{xy}) \cdot z} = (xy z^2)^{1/4} și x∘(y∘z)=x⋅yz=(x2yz)1/4x \circ (y \circ z) = \sqrt{x \cdot \sqrt{yz}} = (x^2 y z)^{1/4}; pentru egalitate, (xyz2)1/4=(x2yz)1/4⇒xyz2=x2yz⇒xz(z−x)=0(xy z^2)^{1/4} = (x^2 y z)^{1/4} \Rightarrow xy z^2 = x^2 y z \Rightarrow xz(z - x) = 0, dar x,z>0x,z>0, deci nu este asociativă pentru toate x,y,z∈Mx,y,z \in M;
32 puncte
Căutați elementul neutru ee: rezolvați e∘x=xe \circ x = x pentru orice xx: ex=x⇒ex=x2⇒e=x\sqrt{ex} = x \Rightarrow ex = x^2 \Rightarrow e = x, imposibil pentru un ee fix, deci nu există element neutru;
42 puncte
Fără element neutru, nu se pot defini inverse;
51 punct
Rezolvați ecuația x∘(x∘a)=bx \circ (x \circ a) = b: x∘(xa)=x⋅xa=b⇒x⋅xa=b2⇒xa=b2x⇒xa=b4x2⇒x3a=b4⇒x=b4a3x \circ (\sqrt{xa}) = \sqrt{x \cdot \sqrt{xa}} = b \Rightarrow x \cdot \sqrt{xa} = b^2 \Rightarrow \sqrt{xa} = \frac{b^2}{x} \Rightarrow xa = \frac{b^4}{x^2} \Rightarrow x^3 a = b^4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{b^4}{a}}, cu verificarea x>0x>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.