MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Considerăm mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R,x≠0}M = \{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}, x \neq 0 \} și operația ∘\circ definită prin (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2,x1y2+y1)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2, x_1 y_2 + y_1). Demonstrați că (M,∘)(M, \circ) este un grup. Găsiți elementul simetric al elementului (a,b)∈M(a,b) \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea închiderii operației: pentru orice (x1,y1),(x2,y2)∈M(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in M, produsul x1x2≠0x_1 x_2 \neq 0, deci (x1x2,x1y2+y1)∈M(x_1 x_2, x_1 y_2 + y_1) \in M.
23 puncte
Demonstrarea asociativității: pentru orice (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)∈M(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \in M, calculează ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)((x_1, y_1) \circ (x_2, y_2)) \circ (x_3, y_3) și (x1,y1)∘((x2,y2)∘(x3,y3))(x_1, y_1) \circ ((x_2, y_2) \circ (x_3, y_3)), și arată că ambele dau (x1x2x3,x1x2y3+x1y2+y1)(x_1 x_2 x_3, x_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 + y_1).
32 puncte
Găsirea elementului neutru: rezolvă (x,y)∘(e1,e2)=(x,y)(x,y) \circ (e_1, e_2) = (x,y) pentru a obține xe1=xx e_1 = x și xe2+y=yx e_2 + y = y, de unde e1=1e_1 = 1 și e2=0e_2 = 0, verificând că (1,0)∈M(1,0) \in M și este element neutru.
43 puncte
Determinarea elementului simetric pentru (a,b)(a,b): rezolvă (a,b)∘(x,y)=(1,0)(a,b) \circ (x,y) = (1,0) pentru a obține ax=1a x = 1 și ay+b=0a y + b = 0, deci x=1ax = \frac{1}{a} și y=−bay = -\frac{b}{a}, verificând că (1a,−ba)∈M(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.