MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea G={(x,y)∣x,y∈R,x≠0}G = \{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}, x \neq 0 \} se definește legea de compoziție (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2,x1y2+y1)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2, x_1 y_2 + y_1). Arătați că această lege este asociativă, are element neutru, și fiecare element are invers. Determinați elementul neutru și inversul unui element (x,y)∈G(x,y) \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrăm asociativitatea. Calculăm ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)((x_1,y_1)\circ(x_2,y_2))\circ(x_3,y_3). Întâi, (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2,x1y2+y1)(x_1,y_1)\circ(x_2,y_2) = (x_1 x_2, x_1 y_2 + y_1). Apoi, ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)=(x1x2,x1y2+y1)∘(x3,y3)=(x1x2x3,x1x2y3+(x1y2+y1))=(x1x2x3,x1x2y3+x1y2+y1)((x_1,y_1)\circ(x_2,y_2))\circ(x_3,y_3) = (x_1 x_2, x_1 y_2 + y_1) \circ (x_3,y_3) = (x_1 x_2 x_3, x_1 x_2 y_3 + (x_1 y_2 + y_1)) = (x_1 x_2 x_3, x_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 + y_1). Similar, (x1,y1)∘((x2,y2)∘(x3,y3))=(x1,y1)∘(x2x3,x2y3+y2)=(x1x2x3,x1(x2y3+y2)+y1)=(x1x2x3,x1x2y3+x1y2+y1)(x_1,y_1)\circ((x_2,y_2)\circ(x_3,y_3)) = (x_1,y_1) \circ (x_2 x_3, x_2 y_3 + y_2) = (x_1 x_2 x_3, x_1 (x_2 y_3 + y_2) + y_1) = (x_1 x_2 x_3, x_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 + y_1). Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Determinăm elementul neutru. Fie (e1,e2)∈G(e_1,e_2) \in G astfel încât (x,y)∘(e1,e2)=(x,y)(x,y)\circ(e_1,e_2) = (x,y) pentru orice (x,y)∈G(x,y) \in G. Atunci (xe1,xe2+y)=(x,y)(x e_1, x e_2 + y) = (x,y), deci xe1=xx e_1 = x și xe2+y=yx e_2 + y = y. Din xe1=xx e_1 = x, pentru x≠0x \neq 0, obținem e1=1e_1 = 1. Din xe2+y=yx e_2 + y = y, obținem xe2=0x e_2 = 0, și pentru x≠0x \neq 0, avem e2=0e_2 = 0. Verificăm: (1,0)∘(x,y)=(1⋅x,1⋅y+0)=(x,y)(1,0)\circ(x,y) = (1\cdot x, 1\cdot y + 0) = (x,y) și (x,y)∘(1,0)=(x⋅1,x⋅0+y)=(x,y)(x,y)\circ(1,0) = (x\cdot1, x\cdot0 + y) = (x,y), deci (1,0)(1,0) este elementul neutru.
33 puncte
Determinăm inversul unui element (x,y)∈G(x,y) \in G. Fie (x′,y′)∈G(x',y') \in G astfel încât (x,y)∘(x′,y′)=(1,0)(x,y)\circ(x',y') = (1,0). Atunci (xx′,xy′+y)=(1,0)(x x', x y' + y) = (1,0), deci xx′=1x x' = 1 și xy′+y=0x y' + y = 0. Din xx′=1x x' = 1, avem x′=1xx' = \frac{1}{x} (deoarece x≠0x \neq 0). Din xy′+y=0x y' + y = 0, avem y′=−yxy' = -\frac{y}{x}. Verificăm: (x,y)∘(1x,−yx)=(x⋅1x,x⋅(−yx)+y)=(1,−y+y)=(1,0)(x,y)\circ(\frac{1}{x}, -\frac{y}{x}) = (x\cdot\frac{1}{x}, x\cdot(-\frac{y}{x}) + y) = (1, -y + y) = (1,0), și similar pentru compunerea inversă, deci inversul este (1x,−yx)(\frac{1}{x}, -\frac{y}{x}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.