MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție xΔy=x+y1+xyx \Delta y = \frac{x+y}{1+xy}. Arătați că (R∖{−1,1},Δ)(\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}, \Delta) este grup abelian. Apoi rezolvați ecuația (xΔ2)Δ3=4(x \Delta 2) \Delta 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați închiderea: pentru x,y∈R∖{−1,1}x,y \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}, arătați că xΔy∈R∖{−1,1}x \Delta y \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}. Dacă xΔy=±1x \Delta y = \pm 1, atunci x+y1+xy=±1\frac{x+y}{1+xy} = \pm 1 implică x+y=±(1+xy)x+y = \pm (1+xy), de unde (x∓1)(y∓1)=0(x \mp 1)(y \mp 1) = 0, deci x=±1x=\pm 1 sau y=±1y=\pm 1, contradicție. Deci xΔy≠±1x \Delta y \neq \pm 1.
23 puncte
Verificați asociativitatea: (xΔy)Δz=x+y1+xy+z1+x+y1+xy⋅z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz(x \Delta y) \Delta z = \frac{ \frac{x+y}{1+xy} + z }{ 1 + \frac{x+y}{1+xy} \cdot z } = \frac{ x+y+z+xyz }{ 1+xy+xz+yz }, și xΔ(yΔz)=x+y+z1+yz1+x⋅y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yzx \Delta (y \Delta z) = \frac{ x + \frac{y+z}{1+yz} }{ 1 + x \cdot \frac{y+z}{1+yz} } = \frac{ x+y+z+xyz }{ 1+xy+xz+yz }, deci sunt egale.
32 puncte
Găsiți elementul neutru ee: xΔe=xx \Delta e = x pentru orice xx. Rezolvând x+e1+xe=x\frac{x+e}{1+xe} = x, obținem x+e=x+x2ex+e = x + x^2 e, deci e(1−x2)=0e(1-x^2)=0. Pentru x≠±1x \neq \pm 1, avem e=0e=0. Verificați că 00 este element neutru: xΔ0=x+01+x⋅0=xx \Delta 0 = \frac{x+0}{1+x\cdot0} = x.
42 puncte
Găsiți simetricul: pentru x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}, căutați x′x' astfel încât xΔx′=0x \Delta x' = 0. Rezolvând x+x′1+xx′=0\frac{x+x'}{1+xx'} = 0, avem x+x′=0x+x'=0, deci x′=−xx' = -x. Verificați că −x∈R∖{−1,1}-x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\} dacă x≠±1x \neq \pm 1.
51 punct
Rezolvați ecuația (xΔ2)Δ3=4(x \Delta 2) \Delta 3 = 4. Mai întâi, xΔ2=x+21+2xx \Delta 2 = \frac{x+2}{1+2x}. Apoi, (x+21+2x)Δ3=x+21+2x+31+3⋅x+21+2x=x+2+3(1+2x)1+2x+3(x+2)=7x+55x+7\left( \frac{x+2}{1+2x} \right) \Delta 3 = \frac{ \frac{x+2}{1+2x} + 3 }{ 1 + 3 \cdot \frac{x+2}{1+2x} } = \frac{ x+2 + 3(1+2x) }{ 1+2x + 3(x+2) } = \frac{7x+5}{5x+7}. Setând 7x+55x+7=4\frac{7x+5}{5x+7} = 4, avem 7x+5=20x+287x+5 = 20x+28, deci −13x=23-13x = 23, x=−2313x = -\frac{23}{13}. Verificați că x≠±1x \neq \pm 1 și că expresiile sunt bine definite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.