MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie M={x∈R∣x≠−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Demonstrați că (M,∗)(M, *) este un grup comutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm că operația este internă: pentru x,y∈Mx, y \in M, avem x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Presupunem că x∗y=−1x * y = -1, atunci x+y+xy=−1x + y + xy = -1, deci xy+x+y+1=0xy + x + y + 1 = 0, sau (x+1)(y+1)=0(x+1)(y+1)=0, ceea ce implică x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, contradicție cu x,y∈Mx,y \in M. Așadar, x∗y≠−1x * y \neq -1, deci x∗y∈Mx * y \in M.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = x + y + xy + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + y + z + yz + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Comparând, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z), deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee: din x∗e=xx * e = x, avem x+e+xe=xx + e + xe = x, deci e+xe=0e + xe = 0, e(1+x)=0e(1+x)=0 pentru orice x∈Mx \in M. Cum x≠−1x \neq -1, 1+x≠01+x \neq 0, deci e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0+x⋅0=xx * 0 = x + 0 + x\cdot0 = x, deci e=0e=0 este element neutru.
42 puncte
Pentru fiecare x∈Mx \in M, găsim simetricul x′x': din x∗x′=0x * x' = 0, avem x+x′+xx′=0x + x' + xx' = 0, deci x′(1+x)=−xx'(1+x) = -x. Cum x≠−1x \neq -1, 1+x≠01+x \neq 0, deci x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}. Verificăm: x∗−x1+x=x+−x1+x+x⋅−x1+x=x(1+x)−x−x21+x=x+x2−x−x21+x=0x * \frac{-x}{1+x} = x + \frac{-x}{1+x} + x\cdot\frac{-x}{1+x} = \frac{x(1+x) - x - x^2}{1+x} = \frac{x + x^2 - x - x^2}{1+x} = 0.
51 punct
Verificăm comutativitatea: x∗y=x+y+xy=y+x+yx=y∗xx * y = x + y + xy = y + x + yx = y * x, deci operația este comutativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.