MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{0}M = \mathbb{R} \setminus \{0\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xyx+yx * y = \frac{xy}{x+y} pentru orice x,y∈Mx, y \in M. a) Demonstrați că operația ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al operației ∗*, dacă există. c) Pentru fiecare x∈Mx \in M, găsiți simetricul lui xx față de operația ∗*, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru demonstrarea asociativității, calculăm (x∗y)∗z=xyx+y⋅zxyx+y+z(x * y) * z = \frac{\frac{xy}{x+y} \cdot z}{\frac{xy}{x+y} + z} și x∗(y∗z)=x⋅yzy+zx+yzy+zx * (y * z) = \frac{x \cdot \frac{yz}{y+z}}{x + \frac{yz}{y+z}}, apoi simplificăm și arătăm că sunt egale, obținând xyzxy+xz+yz\frac{xyz}{xy + xz + yz} în ambele cazuri.
23 puncte
Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Mx \in M. Rezolvăm ecuația xex+e=x\frac{xe}{x+e} = x, care conduce la xe=x(x+e)xe = x(x+e), deci e=1e = 1.
33 puncte
Simetricul x′x' al lui xx satisface x∗x′=e=1x * x' = e = 1. Rezolvăm ecuația xx′x+x′=1\frac{x x'}{x + x'} = 1, obținând xx′=x+x′x x' = x + x', deci x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}, cu condiția x≠1x \neq 1. Dacă x=1x=1, ecuația devine 1∗x′=11 * x' = 1, dar 1∗x′=x′1+x′=11 * x' = \frac{x'}{1+x'} = 1 nu are soluție, deci pentru x=1x=1 simetricul nu există.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.