MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieLogaritmiGrupuri
Pe mulțimea M=(0,∞)M = (0, \infty) se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=ln⁡(ex+ey)x * y = \ln(e^x + e^y). Să se verifice dacă această lege este asociativă și comutativă. Să se determine elementul neutru, dacă există, și să se calculeze simetricul elementului x∈Mx \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: x∗y=ln⁡(ex+ey)=ln⁡(ey+ex)=y∗xx * y = \ln(e^x + e^y) = \ln(e^y + e^x) = y * x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: Calculăm (x∗y)∗z=ln⁡(eln⁡(ex+ey)+ez)=ln⁡((ex+ey)+ez)=ln⁡(ex+ey+ez)(x * y) * z = \ln(e^{\ln(e^x + e^y)} + e^z) = \ln((e^x + e^y) + e^z) = \ln(e^x + e^y + e^z) și x∗(y∗z)=ln⁡(ex+eln⁡(ey+ez))=ln⁡(ex+(ey+ez))=ln⁡(ex+ey+ez)x * (y * z) = \ln(e^x + e^{\ln(e^y + e^z)}) = \ln(e^x + (e^y + e^z)) = \ln(e^x + e^y + e^z). Deoarece sunt egale, legea este asociativă.
33 puncte
Căutăm elementul neutru ee: x∗e=x⇒ln⁡(ex+ee)=x⇒ex+ee=ex⇒ee=0x * e = x \Rightarrow \ln(e^x + e^e) = x \Rightarrow e^x + e^e = e^x \Rightarrow e^e = 0, imposibil deoarece ee>0e^e > 0. Așadar, nu există element neutru.
42 puncte
Deoarece nu există element neutru, nu se pot defini simetrici. Prin urmare, pentru orice x∈Mx \in M, nu există simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.