MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea M=R2M = \mathbb{R}^2 și operația ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) * (c,d) = (a+c, b+d+ac). Studiați proprietățile operației: comutativitate, asociativitate, existența elementului neutru și a simetricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică comutativitatea: (a,b)∗(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) * (c,d) = (a+c, b+d+ac) și (c,d)∗(a,b)=(c+a,d+b+ca)(c,d) * (a,b) = (c+a, d+b+ca). Deoarece adunarea este comutativă și ac=caac=ca, rezultă că operația este comutativă.
24 puncte
Se verifică asociativitatea calculând ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(a+c,b+d+ac)∗(e,f)=(a+c+e,b+d+ac+f+(a+c)e)=(a+c+e,b+d+f+ac+ae+ce)((a,b) * (c,d)) * (e,f) = (a+c, b+d+ac) * (e,f) = (a+c+e, b+d+ac+f+(a+c)e) = (a+c+e, b+d+f+ac+ae+ce) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(c+e,d+f+ce)=(a+c+e,b+d+f+ce+ac)=(a+c+e,b+d+f+ac+ce)(a,b) * ((c,d) * (e,f)) = (a,b) * (c+e, d+f+ce) = (a+c+e, b+d+f+ce+ac) = (a+c+e, b+d+f+ac+ce). Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Se determină elementul neutru (e1,e2)(e_1,e_2) rezolvând (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b) * (e_1,e_2) = (a,b) ⇒\Rightarrow (a+e1,b+e2+ae1)=(a,b)(a+e_1, b+e_2+ae_1) = (a,b) ⇒\Rightarrow e1=0e_1=0 și e2=0e_2=0, deci elementul neutru este (0,0)(0,0).
42 puncte
Pentru un element (a,b)(a,b), se determină simetricul (a′,b′)(a',b') rezolvând (a,b)∗(a′,b′)=(0,0)(a,b) * (a',b') = (0,0) ⇒\Rightarrow (a+a′,b+b′+aa′)=(0,0)(a+a', b+b'+aa') = (0,0) ⇒\Rightarrow a′=−aa' = -a și b′=−b−a(−a)=−b+a2b' = -b - a(-a) = -b + a^2, deci simetricul este (−a,−b+a2)(-a, -b+a^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.