MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M=R∖{0}M = \mathbb{R} \setminus \{0\} se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=aba+ba * b = \frac{ab}{a+b} pentru orice a,b∈Ma, b \in M. Demonstrați că legea este asociativă. Studiați existența elementului neutru. Rezolvați în MM ecuația x∗2=3x * 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Asociativitatea: pentru orice a,b,c∈Ma, b, c \in M, avem (a∗b)∗c=aba+b∗c=aba+b⋅caba+b+c=abcab+c(a+b)=abcab+ac+bc(a * b) * c = \frac{ab}{a+b} * c = \frac{\frac{ab}{a+b} \cdot c}{\frac{ab}{a+b} + c} = \frac{abc}{ab + c(a+b)} = \frac{abc}{ab + ac + bc}. Similar, a∗(b∗c)=a∗bcb+c=a⋅bcb+ca+bcb+c=abca(b+c)+bc=abcab+ac+bca * (b * c) = a * \frac{bc}{b+c} = \frac{a \cdot \frac{bc}{b+c}}{a + \frac{bc}{b+c}} = \frac{abc}{a(b+c) + bc} = \frac{abc}{ab + ac + bc}. Deci (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c), legea este asociativă.
23 puncte
Elementul neutru: presupunem că există e∈Me \in M astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Ma \in M. Atunci aea+e=a⇒ae=a(a+e)⇒ae=a2+ae⇒a2=0\frac{ae}{a+e} = a \Rightarrow ae = a(a+e) \Rightarrow ae = a^2 + ae \Rightarrow a^2 = 0, deci a=0a=0, dar a≠0a \neq 0, contradicție. Așadar, nu există element neutru.
33 puncte
Ecuația x∗2=3x * 2 = 3 se scrie 2xx+2=3⇒2x=3(x+2)⇒2x=3x+6⇒−x=6⇒x=−6\frac{2x}{x+2} = 3 \Rightarrow 2x = 3(x+2) \Rightarrow 2x = 3x + 6 \Rightarrow -x = 6 \Rightarrow x = -6. Verificăm: −6∈M-6 \in M și 2⋅(−6)−6+2=−12−4=3\frac{2 \cdot (-6)}{-6+2} = \frac{-12}{-4} = 3, deci soluția este x=−6x = -6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.