MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. a) Arătați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați pentru care elemente x∈Zx \in \mathbb{Z} există x′∈Zx' \in \mathbb{Z} astfel încât x∗x′=ex * x' = e, unde ee este elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificați comutativitatea: x∗y=x+y−xy=y+x−yx=y∗xx * y = x + y - xy = y + x - yx = y * x. Verificați asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz, deci sunt egale.
22 puncte
Căutați ee astfel încât x∗e=xx * e = x: x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e(1-x) = 0. Pentru x≠1x \neq 1, e=0e=0; pentru x=1x=1, 1∗e=1+e−e=11 * e = 1 + e - e = 1, deci e=0e=0 funcționează pentru toate xx, verificând 0∗x=0+x−0⋅x=x0 * x = 0 + x - 0 \cdot x = x. Așadar, elementul neutru este 00.
35 puncte
Pentru simetricul x′x', x∗x′=0⇒x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−xx * x' = 0 \Rightarrow x + x' - x x' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x. Dacă x=1x=1, ecuația devine 1+x′−x′=1=01 + x' - x' = 1 = 0, imposibil, deci pentru x=1x=1 nu există simetric. Pentru x≠1x \neq 1, x′=−x1−x=xx−1x' = \frac{-x}{1-x} = \frac{x}{x-1}. Pentru ca x′∈Zx' \in \mathbb{Z}, trebuie ca x−1x-1 să dividă xx, adică x−1∣x⇒x−1∣1x-1 \mid x \Rightarrow x-1 \mid 1, deci x−1=±1⇒x=0x-1 = \pm 1 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2. Verificare: pentru x=0x=0, x′=0x' = 0; pentru x=2x=2, x′=2x' = 2. Așadar, doar pentru x=0x=0 și x=2x=2 există simetric în Z\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.