MediuNumere ComplexeClasa 12

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R}M = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} se definește operația ∘\circ prin (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+y1x2)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2). a) Arătați că operația ∘\circ este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Demonstrați că pentru orice (x,y)∈M(x, y) \in M cu (x,y)≠(0,0)(x, y) \neq (0,0), există un invers. d) Rezolvați ecuația (a,b)∘(x,y)=(1,0)(a, b) \circ (x, y) = (1,0) pentru (a,b)≠(0,0)(a, b) \neq (0,0).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Comutativitatea: (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+y1x2)=(x2x1−y2y1,x2y1+y2x1)=(x2,y2)∘(x1,y1)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2) = (x_2 x_1 - y_2 y_1, x_2 y_1 + y_2 x_1) = (x_2, y_2) \circ (x_1, y_1).
22 puncte
Asociativitatea: Se calculează ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)((x_1, y_1) \circ (x_2, y_2)) \circ (x_3, y_3) și (x1,y1)∘((x2,y2)∘(x3,y3))(x_1, y_1) \circ ((x_2, y_2) \circ (x_3, y_3)) și se arată că sunt egale; de exemplu, ((x1x2−y1y2,x1y2+y1x2))∘(x3,y3)=((x1x2−y1y2)x3−(x1y2+y1x2)y3,(x1x2−y1y2)y3+(x1y2+y1x2)x3)=(x1x2x3−y1y2x3−x1y2y3−y1x2y3,x1x2y3−y1y2y3+x1y2x3+y1x2x3)( (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2) ) \circ (x_3, y_3) = ( (x_1 x_2 - y_1 y_2)x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2)y_3, (x_1 x_2 - y_1 y_2)y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2)x_3 ) = (x_1 x_2 x_3 - y_1 y_2 x_3 - x_1 y_2 y_3 - y_1 x_2 y_3, x_1 x_2 y_3 - y_1 y_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3). Similar, (x1,y1)∘((x2x3−y2y3,x2y3+y2x3))=(x1(x2x3−y2y3)−y1(x2y3+y2x3),x1(x2y3+y2x3)+y1(x2x3−y2y3))(x_1, y_1) \circ ( (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3) ) = (x_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3) - y_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3), x_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3)), care se simplifică la aceeași expresie, dovedind asociativitatea.
32 puncte
Elementul neutru: Fie (e1,e2)(e_1, e_2) astfel încât (x,y)∘(e1,e2)=(x,y)(x, y) \circ (e_1, e_2) = (x, y). Rezultă sistemul: xe1−ye2=xx e_1 - y e_2 = x și xe2+ye1=yx e_2 + y e_1 = y. Pentru toți x,yx, y, soluția este (e1,e2)=(1,0)(e_1, e_2) = (1,0). Se verifică că (x,y)∘(1,0)=(x⋅1−y⋅0,x⋅0+y⋅1)=(x,y)(x, y) \circ (1,0) = (x \cdot 1 - y \cdot 0, x \cdot 0 + y \cdot 1) = (x, y).
43 puncte
Inversul: Pentru (x,y)≠(0,0)(x, y) \neq (0,0), fie (x′,y′)(x', y') inversul. Atunci (x,y)∘(x′,y′)=(1,0)(x, y) \circ (x', y') = (1,0). Rezultă sistemul: xx′−yy′=1x x' - y y' = 1 și xy′+yx′=0x y' + y x' = 0. Rezolvând, din a doua ecuație, y′=−yx′xy' = -\frac{y x'}{x} dacă x≠0x \neq 0, sau se tratează cazurile. General, se obține x′=xx2+y2x' = \frac{x}{x^2 + y^2}, y′=−yx2+y2y' = \frac{-y}{x^2 + y^2}, cu x2+y2≠0x^2 + y^2 \neq 0. Se verifică că (x,y)∘(xx2+y2,−yx2+y2)=(1,0)(x, y) \circ (\frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2}) = (1,0).
52 puncte
Ecuația (a,b)∘(x,y)=(1,0)(a, b) \circ (x, y) = (1,0): Din definiție, avem ax−by=1a x - b y = 1 și ay+bx=0a y + b x = 0. Rezolvând sistemul, de exemplu din a doua ecuație y=−bxay = -\frac{b x}{a} dacă a≠0a \neq 0, și substituind în prima, se obține x=aa2+b2x = \frac{a}{a^2 + b^2}, y=−ba2+b2y = \frac{-b}{a^2 + b^2}, pentru (a,b)≠(0,0)(a, b) \neq (0,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.