MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația ∗\ast definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad + b). Să se arate că ∗\ast este lege de compoziție pe GG, să se verifice asociativitatea și să se determine elementul neutru. Apoi, pentru fiecare (a,b)∈G(a,b) \in G, să se afle elementul simetric.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică că ∗\ast este lege de compoziție pe GG: pentru orice (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, avem (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad + b), cu ac≠0ac \neq 0 deoarece a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, deci (ac,ad+b)∈G(ac, ad + b) \in G.
23 puncte
Se demonstrează asociativitatea: ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b) \ast (c,d)) \ast (e,f) = (ac, ad + b) \ast (e,f) = (ace, acf + ad + b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b) \ast ((c,d) \ast (e,f)) = (a,b) \ast (ce, cf + d) = (ace, a(cf + d) + b) = (ace, acf + ad + b), deci operația este asociativă.
32 puncte
Se determină elementul neutru (e1,e2)(e_1,e_2): din (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b) \ast (e_1,e_2) = (a,b) rezultă ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b, deci e1=1e_1 = 1 și e2=0e_2 = 0; se verifică că (1,0)∈G(1,0) \in G și (a,b)∗(1,0)=(a,a⋅0+b)=(a,b)(a,b) \ast (1,0) = (a, a\cdot 0 + b) = (a,b).
43 puncte
Se găsește elementul simetric (x,y)(x,y) pentru (a,b)(a,b): din (a,b)∗(x,y)=(1,0)(a,b) \ast (x,y) = (1,0) rezultă ax=1ax = 1 și ay+b=0ay + b = 0, deci x=1ax = \frac{1}{a} și y=−bay = -\frac{b}{a}; se verifică că (1a,−ba)∈G(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) \in G și (a,b)∗(1a,−ba)=(1,0)(a,b) \ast (\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) = (1,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.