MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy. a) Demonstrați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Arătați că orice element x≠−1x \neq -1 este simetrizabil și găsiți simetricul său. d) Rezolvați ecuația 2∗x=52 \ast x = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz=x+y+z+xy+xz+yz+xyz.(x \ast y) \ast z = (x+y+xy) \ast z = (x+y+xy) + z + (x+y+xy)z = x+y+xy+z+xz+yz+xyz = x+y+z+xy+xz+yz+xyz. x \ast (y \ast z) = x \ast (y+z+yz) = x + (y+z+yz) + x(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz = x+y+z+xy+xz+yz+xyz. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z), deci legea este asociativă.
22 puncte
Căutăm ee astfel încât e∗x=xe \ast x = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. e∗x=e+x+ex=x⇒e+ex=0⇒e(1+x)=0e \ast x = e + x + ex = x \Rightarrow e + ex = 0 \Rightarrow e(1+x) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e = 0. Verificăm: 0∗x=0+x+0⋅x=x0 \ast x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci elementul neutru este e=0e = 0.
32 puncte
Pentru x∈Rx \in \mathbb{R}, x≠−1x \neq -1, căutăm yy astfel încât x∗y=0x \ast y = 0. x∗y=x+y+xy=0⇒y(1+x)=−x⇒y=−x1+xx \ast y = x + y + xy = 0 \Rightarrow y(1+x) = -x \Rightarrow y = -\frac{x}{1+x}. Această valoare există dacă x≠−1x \neq -1. Deci pentru x≠−1x \neq -1, simetricul este x′=−x1+xx' = -\frac{x}{1+x}.
43 puncte
Rezolvăm 2∗x=52 \ast x = 5, adică 2+x+2x=5⇒3x=3⇒x=12 + x + 2x = 5 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1. Verificăm: 2∗1=2+1+2⋅1=52 \ast 1 = 2 + 1 + 2 \cdot 1 = 5, deci soluția este x=1x = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.