MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} se definește legea de compoziție ∘\circ prin a∘b=a+b−aba \circ b = a + b - ab. Să se determine elementele simetrizabile și să se rezolve ecuația x∘2=3x \circ 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Determinarea elementelor simetrizabile. Se găsește elementul neutru: din a∘e=aa \circ e = a rezultă a+e−ae=a⇒e(1−a)=0a + e - ae = a \Rightarrow e(1-a)=0 pentru orice a∈Za \in \mathbb{Z}, deci e=0e=0. Un element aa este simetrizabil dacă există bb cu a∘b=0a \circ b = 0. Rezolvând a+b−ab=0a + b - ab = 0, obținem b=aa−1b = \frac{a}{a-1} pentru a≠1a \neq 1. Pentru b∈Zb \in \mathbb{Z}, a−1a-1 trebuie să dividă aa, ceea ce dă a=0a=0 sau a=2a=2. Pentru a=1a=1, ecuația 1∘b=01 \circ b = 0 devine 1=01=0, imposibil. Astfel, elementele simetrizabile sunt 00 (cu simetricul 00) și 22 (cu simetricul 22).
25 puncte
Rezolvarea ecuației x∘2=3x \circ 2 = 3. Calculăm x∘2=x+2−2x=2−xx \circ 2 = x + 2 - 2x = 2 - x. Ecuația devine 2−x=3⇒x=−12 - x = 3 \Rightarrow x = -1. Verificare: −1∘2=−1+2−(−1)⋅2=3-1 \circ 2 = -1 + 2 - (-1)\cdot 2 = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.