MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y1+xyx * y = \frac{x+y}{1+xy}. Studiați această lege: arătați că este comutativă și asociativă, determinați elementul neutru și găsiți elementele simetrizabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Comutativitatea: x∗y=x+y1+xy=y+x1+yx=y∗xx * y = \frac{x+y}{1+xy} = \frac{y+x}{1+yx} = y * x, deci ∗* este comutativă.
24 puncte
Asociativitatea: Calculăm (x∗y)∗z=x+y1+xy+z1+x+y1+xy⋅z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz(x * y) * z = \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + \frac{x+y}{1+xy} \cdot z} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz} și x∗(y∗z)=x+y+z1+yz1+x⋅y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yzx * (y * z) = \frac{x + \frac{y+z}{1+yz}}{1 + x \cdot \frac{y+z}{1+yz}} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}, care sunt egale, deci ∗* este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x pentru orice xx, adică x+e1+xe=x\frac{x+e}{1+xe} = x. Rezolvând, obținem x+e=x(1+xe)=x+x2ex+e = x(1+xe) = x + x^2 e, deci e−x2e=0e - x^2 e = 0, e(1−x2)=0e(1-x^2)=0 pentru orice xx, ceea ce implică e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+01+x⋅0=xx * 0 = \frac{x+0}{1+x\cdot0}=x.
42 puncte
Elementul simetric x′x' pentru xx satisface x∗x′=0x * x' = 0, adică x+x′1+xx′=0\frac{x+x'}{1+xx'} = 0, deci x+x′=0x+x'=0, de unde x′=−xx' = -x. Pentru ca acesta să fie în mulțime, trebuie −x≠−1-x \neq -1, adică x≠1x \neq 1, și de asemenea x≠−1x \neq -1 din definiția mulțimii. Verificăm că 1+xx′=1+x(−x)=1−x2≠01+xx' = 1+x(-x)=1-x^2 \neq 0, ceea ce este adevărat pentru x≠±1x \neq \pm1. Astfel, elementele simetrizabile sunt x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.